5. Mostre que a sequência (x_(n)) dada por x_(n)=1+(1)/(2)+(1)/(3)+ldots +(1)/(n) é divergente.

Para mostrar que a sequência $(x_{n})$ é divergente, podemos usar o Teste da Integral.<br /><br />Primeiro, vamos reescrever a soma em termos de integrais:<br /><br />$x_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} = \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx$<br /><br />Agora, vamos calcular o limite da sequência $(x_{n})$ quando $n$ tende ao infinito:<br /><br />$\lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx$<br /><br />O integral $\int_{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx$ representa a área sob a curva $y = \frac{1}{x}$ no intervalo de $1$ a $n$. Quando $n$ tende ao infinito, essa área cresce indefinidamente. Portanto, o limite é infinito.<br /><br />Como o limite da sequência $(x_{n})$ é infinito, podemos concluir que a sequência é divergente.