Pergunta

33. Utilizando a definição de logaritmo calcule o valor da expressão abaixo: log_(4)sqrt (8)-log_(3)27-5+log_(6)36
Solução

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Flávia MariaElite · Tutor por 8 anos
Responder
Para calcular o valor da expressão dada, vamos utilizar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />A primeira propriedade que vamos utilizar é a propriedade do logaritmo de uma raiz. A propriedade diz que o logaritmo de uma raiz é igual ao logaritmo da base dividido por 2. Portanto, podemos reescrever a primeira parte da expressão da seguinte forma:<br /><br />$log_{4}\sqrt {8} = log_{4}(8^{1/2}) = log_{4}(8) = log_{4}(2^3) = 3log_{4}(2)$<br /><br />A segunda propriedade que vamos utilizar é a propriedade do logaritmo de uma potência. A propriedade diz que o logaritmo de uma potência é igual ao logaritmo da base multiplicado pelo expoente. Portanto, podemos reescrever a segunda parte da expressão da seguinte forma:<br /><br />$log_{3}27 = log_{3}(3^3) = 3log_{3}(3)$<br /><br />A terceira propriedade que vamos utilizar é a propriedade do logaritmo de uma potência. A propriedade diz que o logaritmo de uma potência é igual ao logaritmo da base multiplicado pelo expoente. Portanto, podemos reescrever a terceira parte da expressão da seguinte forma:<br /><br />$5 = log_{10}(10^5)$<br /><br />A quarta propriedade que vamos utilizar é a propriedade do logaritmo de uma potência. A propriedade diz que o logaritmo de uma potência é igual ao logaritmo da base multiplicado pelo expoente. Portanto, podemos reescrever a quarta parte da expressão da seguinte forma:<br /><br />$log_{6}36 = log_{6}(6^2) = 2log_{6}(6)$<br /><br />Agora, podemos substituir as partes reescritas na expressão original e simplificar:<br /><br />$3log_{4}(2) - 3log_{3}(3) - log_{10}(10^5) + 2log_{6}(6)$<br /><br />Podemos simplificar ainda mais:<br /><br />$3log_{4}(2) - 3log_{3}(3) - 5 + 2log_{6}(6)$<br /><br />Agora, podemos calcular os valores dos logaritmos:<br /><br />$3log_{4}(2) = 3(1/2) = 3/2$<br /><br />$3log_{3}(3) = 3(1) = 3$<br /><br />$log_{10}(10^5) = 5$<br /><br />$2log_{6}(6) = 2(1) = 2$<br /><br />Substituindo os valores calculados na expressão, temos:<br /><br />$3/2 - 3 - 5 + 2 = -13/2$<br /><br />Portanto, o valor da expressão é -13/2.
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