25. Encontre a derivada de f(x)=sqrt (x^2+4x+5) 26. Determine a derivada de f(x)=cos(ln(x)) 27. Calcule a derivada de f(x)=x^2sin(x) 28. Resolva o problema de otimização: Encontre o ponto em que a função f(x)= x^3-6x^2+9x atinge seu valor máximo no intervalo [0,3]

25. Para encontrar a derivada de $f(x)=\sqrt{x^{2}+4x+5}$, podemos usar a regra da cadeia. Primeiro, vamos derivar a função dentro da raiz quadrada, que é $g(x)=x^{2}+4x+5$. A derivada de $g(x)$ é $g'(x)=2x+4$. Agora, vamos derivar a função externa, que é $h(u)=\sqrt{u}$. A derivada de $h(u)$ é $h'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}$. Usando a regra da cadeia, a derivada de $f(x)$ é $f'(x)=h'(g(x)) \cdot g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+4x+5}} \cdot (2x+4)=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^{2}+4x+5}}$.<br /><br />26. Para encontrar a derivada de $f(x)=cos(ln(x))$, podemos usar a regra da cadeia novamente. Primeiro, vamos derivar a função dentro do cosseno, que é $h(x)=ln(x)$. A derivada de $h(x)$ é $h'(x)=\frac{1}{x}$. Agora, vamos derivar a função externa, que é $k(u)=cos(u)$. A derivada de $k(u)$ é $k'(u)=-sin(u)$. Usando a regra da cadeia, a derivada de $f(x)$ é $f'(x)=k'(h(x)) \cdot h'(x)=-sin(ln(x)) \cdot \frac{1}{x}=\frac{-sin(ln(x))}{x}$.<br /><br />27. Para calcular a derivada de $f(x)=x^{2}sin(x)$, podemos usar a regra do produto. A derivada de $f(x)$ é $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$, onde $u(x)=x^{2}$ e $v(x)=sin(x)$. A derivada de $u(x)$ é $u'(x)=2x$ e a derivada de $v(x)$ é $v'(x)=cos(x)$. Substituindo essas derivadas na fórmula, obtemos $f'(x)=2x \cdot sin(x)+x^{2} \cdot cos(x)=2xsin(x)+x^{2}cos(x)$.<br /><br />28. Para resolver o problema de otimização, precisamos encontrar o ponto em que a função $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$ atinge seu valor máximo no intervalo $[0,3]$. Para fazer isso, podemos encontrar as derivadas de $f(x)$ e igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos. A derivada de $f(x)$ é $f'(x)=3x^{2}-12x+9$. Igualando $f'(x)$ a zero, temos $3x^{2}-12x+9=0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $x=1$ e $x=3$ como pontos críticos. Agora, podemos avaliar $f(x)$ em cada um desses pontos e em $x=0$ e $x=3$ para encontrar os valores da função. $f(0)=0$, $f(1)=1-6+9=4$, $f(3)=27-54+27=0$. Portanto, o ponto em que a função $f(x)$ atinge seu valor máximo no intervalo $[0,3]$ é $x=1$, onde $f(1)=4$.