10. Samujerson desenhou um quadrado com lado 8 e marcou os pontos médios. Em seguida construiu I um novo quadrado ligando os pontos médios do anterior e marcou os pontos médios dos lados do novo quadrado . Depois ele repetiu o processo até obter a seguinte figura ao lado. Qual é a área da região cinzenta no desenho de Samujerson? square

Para resolver essa questão, precisamos entender que a cada iteração, um novo quadrado é formado ligando os pontos médios dos lados do quadrado anterior. A área de cada novo quadrado é metade da área do quadrado anterior.<br /><br />O quadrado original tem lado 8, então sua área é:<br />\[ 8 \times 8 = 64 \]<br /><br />O próximo quadrado terá uma área que é metade da área do quadrado original:<br />\[ \frac{64}{2} = 32 \]<br /><br />Continuando esse processo, a área do terceiro quadrado será:<br />\[ \frac{32}{2} = 16 \]<br /><br />E assim por diante. A sequência das áreas dos quadrados formados é uma progressão geométrica com razão \( \frac{1}{2} \).<br /><br />A soma infinita dessa progressão geométrica pode ser calculada pela fórmula da soma de uma série geométrica infinita:<br />\[ S = \frac{a}{1 - r} \]<br />onde \( a \) é o primeiro termo e \( r \) é a razão.<br /><br />Aqui, \( a = 64 \) e \( r = \frac{1}{2} \), então:<br />\[ S = \frac{64}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{64}{\frac{1}{2}} = 64 \times 2 = 128 \]<br /><br />Portanto, a área total da região cinzenta no desenho de Samujerson é 128 unidades quadradas.