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Matemática
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1. Determine a probabilidade de obtermos exatamente tres caras em seis lances de uma moeda. 2. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é (2)/(3) . Se ele atirar cinco vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente dois tiros?

Pergunta

1. Determine a probabilidade de obtermos exatamente tres caras em seis lances de uma moeda.
2. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é (2)/(3) . Se ele atirar cinco vezes, qual a probabilidade de
acertar exatamente dois tiros?

1. Determine a probabilidade de obtermos exatamente tres caras em seis lances de uma moeda. 2. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é (2)/(3) . Se ele atirar cinco vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente dois tiros?

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MiguelElite · Tutor por 8 anos

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1. A probabilidade de obtermos exatamente três caras em seis lances de uma moeda é calculada usando a distribuição binomial. A fórmula é dada por:<br /><br />\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]<br /><br />Onde:<br />- \( n \) é o número de lances (6)<br />- \( k \) é o número de caras desejado (3)<br />- \( p \) é a probabilidade de obter cara em um lance (0.5, pois é uma moeda justa)<br /><br />Substituindo os valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ P(X = 3) = \binom{6}{3} \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{6-3} \]<br /><br />\[ P(X = 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^3 \]<br /><br />\[ P(X = 3) = \frac{6!}{3!3!} \cdot (0.5)^6 \]<br /><br />\[ P(X = 3) = \frac{720}{6} \cdot (0.5)^6 \]<br /><br />\[ P(X = 3) = 120 \cdot (0.015625) \]<br /><br />\[ P(X = 3) = 0.1875 \]<br /><br />Portanto, a probabilidade de obtermos exatamente três caras em seis lances de uma moeda é 0.1875.<br /><br />2. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é \( \frac{2}{3} \). Se ele atirar cinco vezes, a probabilidade de acertar exatamente dois tiros é calculada usando a distribuição binomial. A fórmula é dada por:<br /><br />\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]<br /><br />Onde:<br />- \( n \) é o número de tiros (5)<br />- \( k \) é o número de acertos desejado (2)<br />- \( p \) é a probabilidade de acertar um alvo ( \( \frac{2}{3} \) )<br /><br />Substituindo os valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(1-\frac{2}{3}\right)^{5-2} \]<br /><br />\[ P(X = 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \]<br /><br />\[ P(X = 2) = \frac{5!}{2!3!} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \]<br /><br />\[ P(X = 2) = \frac{120}{2} \cdot \left(\frac{4}{9}\right) \cdot \left(\frac{1}{27}\right) \]<br /><br />\[ P(X = 2) = 60 \cdot \left(\frac{4}{9}\right) \cdot \left(\frac{1}{27}\right) \]<br /><br />\[ P(X = 2) = 60 \cdot \frac{4}{243} \]<br /><br />\[ P(X = 2) = \frac{240}{243} \]<br /><br />\[ P(X = 2) = \frac{80}{81} \]<br /><br />Portanto, a probabilidade de acertar exatamente dois tiros em cinco tentativas é \( \frac{80}{81} \).
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