Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas: (a) alpha :Rarrow R^3 , dada por alpha (s)=((4)/(5)coss,1-sens,-(3)/(5)coss)

Para calcular a curvatura e a de uma curva, precisamos calcular as derivadas de primeira e segunda ordem da função paramétrica que define a curva.<br /><br />Dada a função paramétrica $\alpha(s) = \left(\frac{4}{5}\cos(s), 1 - \sin(s), -\frac{3}{5}\cos(s)\right)$, podemos calcular as derivadas de primeira ordem:<br /><br />$\alpha'(s) = \left(-\frac{4}{5}\sin(s), -\cos(s), \frac{3}{5}\sin(s)\right)$<br /><br />Em seguida, calculamos as derivadas de segunda ordem:<br /><br />$\alpha''(s) = \left(-\frac{4}{5}\cos(s), \sin(s), -\frac{3}{5}\cos(s)\right)$<br /><br />Agora, podemos calcular a curvatura e a torção da curva.<br /><br />A curvatura de uma curva é dada pela fórmula:<br /><br />$\kappa(s) = \frac{\|\alpha'(s)\|^2alpha''(s)\|}{\|\alpha'(s) \times \alpha''(s)\|^2}$<br /><br />Onde $\|\cdot\|$ representa o norma de um vetor.<br /><br />Calculando os produtos normais e vetoriais necessários, encontramos:<br /><br />$\|\alpha'(s)\| = \sqrt{\left(-\frac{4}{5}\sin(s)\right)^2 + (-\cos(s))^2 + \left(\frac{3}{5}\sin(s)\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}\sin^2(s) + \cos^2(s) + \frac{9}{25}\sin^2(s)} = \sqrt{\frac{25}{25}\sin^2(s) + \cos^2(s)} = \sqrt{\sin^2(s) + \cos^2(s)} = 1$<br /><br />$\|\alpha''(s)\| = \sqrt{\left(-\frac{4}{5}\cos(s)\right)^2 + \sin^2(s) + \left(-\frac{3}{5}\cos(s)\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}\cos^2(s) + \sin^2(s) + \frac{9}{25}\cos^2(s)} = \sqrt{\frac{25}{25}\cos^2(s) + \sin^2(s)} = \sqrt{\cos^2(s) + \sin^2(s)} = 1$<br /><br />$\|\alpha'(s) \times \alpha''(s)\| = \sqrt{\left(-\frac{4}{5}\sin(s)\right)\left(-\frac{3}{5}\cos(s)\right) - \left(-\cos(s)\right)\sin(s) + \left(\frac{3}{5}\sin(s)\right)\left(-\frac{4}{5}\cos(s)\right)} = \sqrt{\frac{12}{25}\sin(s)\cos(s) + \cos(s)\sin(s) - \frac{12}{25}\sin(s)\cos(s)} = \sqrt{2\cos(s)\sin(s)} = \sqrt{2\sin(2s)}$<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula da curvatura, encontramos:<br /><br />$\kappa(s) = \frac{1 \cdot 1}{(2\sin(2s))^2} = \frac{1}{4\sin^2(2s)}$<br /><br />Para calcular a torção, usamos a fórmula:<br /><br />$\tau(s) = \frac{\alpha'(s) \times \alpha''(s)}{\|\alpha'(s)\|^2\|\alpha''(s)\|}$<br /><br />Substituindo os valores, encontramos:<br /><br />$\tau(s) = \frac{2\sin(2s)}{1 \cdot 1} = 2\sin(2s)$<br /><br />Portanto, a curvatura da curva é $\kappa(s) = \frac{1}{4\sin^2(2s)}$ e a torção é $\tau(s) = 2\sin(2s)$.