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Matemática
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Questão 3. Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. int _(C)y^3ds, C:x=t^3,y=t,0leqslant tleqslant 2 (b) int _(C)xy^4ds . Céa metade direita do circulo x^2+y^4=16 (c) int _(C)(x^2y^3-sqrt (x))dy, Céo arco da curva y=sqrt (x) de (1,1) a (4,2) (d) int _(C)(x+2y)dx+x^2dy C consiste nos segmentos de reta de (0,0) a (2,1) e de (2,1) a (3,0) (e) int _(C)xe^yzds Céo segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3) (f) int _(C)zdx+xdy+ydz c: x=t^2,y=t^3,z=t^2,0leqslant tleqslant 1

Pergunta

Questão 3. Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
int _(C)y^3ds, C:x=t^3,y=t,0leqslant tleqslant 2
(b) int _(C)xy^4ds . Céa metade direita do circulo x^2+y^4=16
(c) int _(C)(x^2y^3-sqrt (x))dy, Céo arco da curva y=sqrt (x) de (1,1) a (4,2)
(d) int _(C)(x+2y)dx+x^2dy C consiste nos segmentos de reta de (0,0) a (2,1) e de (2,1) a (3,0)
(e) int _(C)xe^yzds Céo segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3)
(f) int _(C)zdx+xdy+ydz c: x=t^2,y=t^3,z=t^2,0leqslant tleqslant 1

Questão 3. Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. int _(C)y^3ds, C:x=t^3,y=t,0leqslant tleqslant 2 (b) int _(C)xy^4ds . Céa metade direita do circulo x^2+y^4=16 (c) int _(C)(x^2y^3-sqrt (x))dy, Céo arco da curva y=sqrt (x) de (1,1) a (4,2) (d) int _(C)(x+2y)dx+x^2dy C consiste nos segmentos de reta de (0,0) a (2,1) e de (2,1) a (3,0) (e) int _(C)xe^yzds Céo segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3) (f) int _(C)zdx+xdy+ydz c: x=t^2,y=t^3,z=t^2,0leqslant tleqslant 1

Solução

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MayraAvançado · Tutor por 1 anos

Responder

Vamos calcular cada uma das integrais de linha dadas:<br /><br />(a) $\int _{C}y^{3}ds$ onde $C:x=t^{3},y=t,0\leqslant t\leqslant 2$<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos encontrar a equação paramétrica da curva $C$ e a expressão para $ds$. A equação paramétrica é dada por $x=t^{3}$ e $y=t$, onde $0\leqslant t\leqslant 2$. A expressão para $ds$ é dada por $ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt$. Substituindo as equações paramétricas na expressão para $ds$, temos $ds=\sqrt{\left(3t^{2}\right)^{2}+1^{2}}dt=\sqrt{9t^{4}+1}dt$. Agora, podemos calcular a integral de linha:<br /><br />$\int _{C}y^{3}ds=\int_{0}^{2}t^{3}\sqrt{9t^{4}+1}dt$<br /><br />(b) $\int _{C}xy^{4}ds$ onde $C$ é a metade direita do círculo $x^{2}+y^{4}=16$<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos encontrar a equação paramétrica da curva $C$ e a expressão para $ds$. A equação paramétrica é dada por $x=4\sqrt{1-y^{4}}$ e $y=\sqrt{16-x^{2}}$, onde $0\leqslant y\leqslant 2$. A expressão para $ds$ é dada por $ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dy}\right)^{2}}dy$. Substituindo a equação paramétrica na expressão para $ds$, temos $ds=\sqrt{\left(-\frac{4y^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\right)^{2}+1}dy=\sqrt{16-x^{2}+y^{4}}dy$. Agora, podemos calcular a integral de linha:<br /><br />$\int _{C}xy^{4}ds=\int_{0}^{2}4\sqrt{1-y^{4}}\cdot y^{4}\sqrt{16-x^{2}+y^{4}}dy$<br /><br />(c) $\int _{C}(x^{2}y^{3}-\sqrt {x})dy$ onde $C$ é o arco da curva $y=\sqrt {x}$ de $(1,1)$ a $(4,2)$<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos encontrar a equação paramétrica da curva $C$ e a expressão para $dy$. A equação paramétrica é dada por $x=t^{2}$ e $y=\sqrt{t}$, onde $1\leqslant t\leqslant 4$. A expressão para $dy$ é dada por $dy=\frac{1}{2\sqrt{t}}dt$. Agora, podemos calcular a integral de linha:<br /><br />$\int _{C}(x^{2}y^{3}-\sqrt {x})dy=\int_{1}^{4}(t^{2}\cdot (\sqrt{t})^{3}-\sqrt{t^{2}})\cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=\int_{1}^{4}(t^{3}-t)\cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=\int_{1}^{4}\frac{t^{2}-1}{2\sqrt{t}}dt$<br /><br />(d) $\int _{C}(x+2y)dx+x^{2}dy$ onde $C$ consiste nos segmentos de reta de $(0,0)$ a $(2,1)$ e de $(2,1)$ a $(3,0)$<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos encontrar a equação paramétrica da curva $C$ e a expressão para $dx$ e $dy$. A equação paramétrica é dada por $x=t$ e $y=t-1$, onde $0\leqslant t\leqslant 2$, e $x=3-t$ e $y=t-1$, onde $1\leqslant t\leqslant 3$. A expressão para $dx$ é dada por $dx=dt$, e a expressão para $dy$ é dada por $dy=dt$. Agora
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