EXERCICE 3:3 points 1. Soit Eun espace vectoriel sur overrightarrow (R),overrightarrow (B)=(overrightarrow (e_(1));overrightarrow (e_(2))) une base de E et overrightarrow (u)=overrightarrow (e_(1))+overrightarrow (e_(2)),overrightarrow (v)=overrightarrow (e_(1))-2overrightarrow (e_(2)) 0,25 pt 1. Donner la dimension de l'espace vectoriel E. 2. Montrer que (overrightarrow (u);overrightarrow (v)) est une base de E. 0,5 pt 3. Donner alors une base de R^2 autre que sa base canonique. 0,25 p t II. Soit F= (x;y;z)in R^3/2x-y+2z=0 ,overrightarrow (u)(1;2:0) et overrightarrow (v)(0;2;1) 1. Montrer F que est un sous espace vectoriel de R^3 0,75 pt o 2. Montrer que (overrightarrow (u);overrightarrow (v)) est une base de F. 0,5 pt 3. Vérifie que overrightarrow (t)(-1;0;1)in F et donner ses coordonnées dans la base (overrightarrow (u);overrightarrow (v)) 0,75 pt ) 1

1. La dimension de l'espace vectoriel E est 2, car il est défini sur $\overrightarrow{R}$ avec une base $\overrightarrow{B} = (\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{e_2})$.<br /><br />2. Pour montrer que $(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v})$ est une base de E, nous devons prouver deux choses :<br /> - La linéarité de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, c'est-à-dire que tout vecteur de E peut être écrit comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.<br /> - La non-colinéarité de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, c'est-à-dire que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.<br /><br />Pour prouver la linéarité, nous devons montrer que tout vecteur de E peut être écrit comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur quelconque de E. Nous devons trouver des scalaires $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{w} = \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v}$.<br /><br />En utilisant les définitions de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, nous avons :<br />$\overrightarrow{w} = \alpha (\overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_2}) + \beta (\overrightarrow{e_1} - 2\overrightarrow{e_2})$<br />$\overrightarrow{w} = (\alpha + \beta)\overrightarrow{e_1} + (\alpha - 2\beta)\overrightarrow{e_2}$<br /><br />Puisque $\overrightarrow{w}$ est un vecteur quelconque de E, nous devons avoir $\alpha + \beta = 1$ et $\alpha - 2\beta = 0$. En résolvant ce système d'équations, nous trouvons $\alpha = 2$ et $\beta = -1$. Donc, tout vecteur de E peut être écrit comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.<br /><br />Pour prouver la non-colinéarité, nous devons montrer que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires. Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ étaient colinéaires, il existerait un scalaire $\lambda$ tel que $\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{u}$. Cependant, en utilisant les définitions de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, nous avons :<br />$\overrightarrow{v} = \lambda (\overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_2})$<br />$\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{e_1} + \lambda \overrightarrow{e_2}$<br /><br />Cela impliquerait que $\lambda = 1$ et $\lambda = -2$, ce qui est impossible. Donc, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.<br /><br />Ainsi, nous avons montré que $(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v})$ est une base de E.<br /><br />3. Une autre base de $R^2$ que sa base canonique est $(\overrightarrow{e_1} + \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_1} - 2\overrightarrow{e_2})$.<br /><br />II. 1. Pour montrer que F est un sous-espace vectoriel de $R^3$, nous devons prouver trois choses :<br /> - L'addition est fermée dans F, c'est-à-dire que si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dans F, alors $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ est également dans F.<br /> - La multiplication par un scalaire est fermée dans F, c'est-à-dire que si $\overrightarrow{u}$ est dans F et $\lambda$ est un scalaire, alors $\lambda \overrightarrow{u}$ est également dans F.<br /> - L'élément neutre est dans F, c'est-à-dire que le vecteur nul est dans F.<br /><br />Pour prouver l'addition fermée, prenons deux vecteurs $\overrightarrow{u} = (x_1, y_1,