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Matemática
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1-Determine y(t)ey[n] , através da convolução: a) y(t)=(u(t)-u(t-2))ast u(t)

Pergunta

1-Determine y(t)ey[n] , através da convolução:
a) y(t)=(u(t)-u(t-2))ast u(t)

1-Determine y(t)ey[n] , através da convolução: a) y(t)=(u(t)-u(t-2))ast u(t)

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RobertMestre · Tutor por 5 anos

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Para determinar $y(t)$ através da convolução dada, podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Definição da Função de Impulso Unitário (u(t))**:<br /> - A função de impulso unitário \( u(t) \) é definida como:<br /> \[<br /> u(t) = \begin{cases} <br /> 1 & \text{se } t \geq 0 \\<br /> 0 & \text{se } t < 0 <br /> \end{cases}<br /> \]<br /><br />2. **Definição da Função Convolutionada**:<br /> - A convolução de duas funções \( f(t) \) e \( g(t) \) é dada por:<br /> \[<br /> (f \ast g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau<br /> \]<br /><br />3. **Aplicação da Convolução**:<br /> - Para a convolução \( y(t) = (u(t) - u(t-2)) \ast u(t) \), precisamos calcular:<br /> \[<br /> y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} (u(\tau) - u(\tau-2)) u(t - \tau) \, d\tau<br /> \]<br /><br />4. **Cálculo da Integral**:<br /> - Vamos dividir a integral em duas partes, uma para \( u(\tau) \) e outra para \( u(\tau-2) \):<br /> \[<br /> y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) u(t - \tau) \, d\tau - \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau-2) u(t - \tau) \, d\tau<br /> \]<br /><br />5. **Simplificação das Integrais**:<br /> - Para a primeira integral, \( u(\tau) \) é 1 para \( \tau \geq 0 \) e 0 para \( \tau < 0 \). Portanto, a integral se simplifica para:<br /> \[<br /> \int_{0}^{\infty} u(t - \tau) \, d\tau = \int_{0}^{t} 1 \, d\tau = t<br /> \]<br /> - Para a segunda integral, \( u(\tau-2) \) é 1 para \( \tau \geq 2 \) e 0 para \( \tau < 2 \). Portanto, a integral se simplifica para:<br /> \[<br /> \int_{2}^{\infty} u(t - \tau) \, d\tau = \int_{2}^{t-2} 1 \, d\tau = t - 2<br /> \]<br /><br />6. **Combinando os Resultados**:<br /> - Assim, temos:<br /> \[<br /> y(t) = t - (t - 2) = t - t + 2 = 2<br /> \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br />a) \( y(t) = 2 \)
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