(1) (OBMEP 2019) Os números a e b são inteiros positivos tais que (a)/(11)+(b)/(3)=(31)/(33) Qualé valor de a+b a) 5 c) 14 e) 31 b) 7 d) 20

Para resolver essa questão, vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por 33 para eliminar as frações:<br /><br />\[ 33 \cdot \left(\frac{a}{11} + \frac{b}{3}\right) = 33 \cdot \frac{31}{33} \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ 3a + 11b = 31 \]<br /><br />Agora, vamos verificar as opções fornecidas para encontrar a que satisfaz essa equação. Vamos testar a opção c) 14:<br /><br />\[ 3a + 11b = 31 \]<br /><br />Se \( a + b = 14 \), então \( b = 14 - a \). Substituindo \( b \) na equação original:<br /><br />\[ 3a + 11(14 - a) = 31 \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ 3a + 154 - 11a = 31 \]<br /><br />\[ -8a + 154 = 31 \]<br /><br />\[ -8a = 31 - 154 \]<br /><br />\[ -8a = -123 \]<br /><br />\[ a = \frac{123}{8} \]<br /><br />Como \( a \) não é um número inteiro, a opção c) 14 não é válida.<br /><br />Vamos testar a opção b) 7:<br /><br />\[ 3a + 11b = 31 \]<br /><br />Se \( a + b = 7 \), então \( b = 7 - a \). Substituindo \( b \) na equação original:<br /><br />\[ 3a + 11(7 - a) = 31 \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ 3a + 77 - 11a = 31 \]<br /><br />\[ -8a + 77 = 31 \]<br /><br />\[ -8a = 31 - 77 \]<br /><br />\[ -8a = -46 \]<br /><br />\[ a = \frac{46}{8} \]<br /><br />Como \( a \) não é um número inteiro, a opção b) 7 também não é válida.<br /><br />Vamos testar a opção a) 5:<br /><br />\[ 3a + 11b = 31 \]<br /><br />Se \( a + b = 5 \), então \( b = 5 - a \). Substituindo \( b \) na equação original:<br /><br />\[ 3a + 11(5 - a) = 31 \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ 3a + 55 - 11a = 31 \]<br /><br />\[ -8a + 55 = 31 \]<br /><br />\[ -8a = 31 - 55 \]<br /><br />\[ -8a = -24 \]<br /><br />\[ a = 3 \]<br /><br />Como \( a \) é um número inteiro, a opção a) 5 é válida. Portanto, o valor de \( a + b \) é 5.