Exercicio 6. Calcule a massa da semiesfera x^2+y^2+z^2leqslant 1,zgeqslant 0 com densidade 8(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

Para calcular a massa da semiesfera dada com a densidade fornecida, podemos usar a fórmula da massa em coordenadas cartesianas:<br /><br />\[ M = \iiint_V \rho(x, y, z) \, dV \]<br /><br />onde \( \rho(x, y, z) \) é a densidade e \( dV \) é o elemento de volume.<br /><br />A densidade fornecida é \( \rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \).<br /><br />A região \( V \) é a semiesfera \( x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \) com \( z \geq 0 \).<br /><br />Para calcular a massa, podemos usar coordenadas esféricas \( (r, \theta, \phi) \) onde \( r \) é a distância radial, \( \theta \) é o ângulo polar e \( \phi \) é o ângulo azimutal.<br /><br />A transformação das coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas é dada por:<br /><br />\[ x = r \sin \theta \cos \phi \]<br />\[ y = r \sin \theta \sin \phi \]<br />\[ z = r \cos \theta \]<br /><br />O elemento de volume em coordenadas esféricas é \( dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \).<br /><br />A integral para calcular a massa em coordenadas esféricas é:<br /><br />\[ M = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi} \int_0^1 r^2 \sin \theta \, r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]<br /><br />Simplificando a integral, temos:<br /><br />\[ M = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi} \int_0^1 r^4 \sin^2 \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]<br /><br />\[ M = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi} \left( \frac{r^5}{5} \sin^2 \theta \right)_0^1 \, d\theta \, d\phi \]<br /><br />\[ M = \frac{1}{5} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \, d\phi \]<br /><br />\[ M = \frac{1}{5} \int_0^{\pi/2} \left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right) \, d\theta \, d\phi \]<br /><br />\[ M = \frac{1}{10} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta \, d\phi \]<br /><br />\[ M = \frac{1}{10} \left( \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right)_0^{\pi/2} \, d\phi \]<br /><br />\[ M = \frac{1}{10} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) \, d\phi \]<br /><br />\[ M = \frac{\pi}{20} \int_0^{\pi} d\phi \]<br /><br />\[ M = \frac{\pi}{20} \cdot \pi \]<br /><br />\[ M = \frac{\pi^2}{20} \]<br /><br />Portanto, a massa da semiesfera é \( \frac{\pi^2}{20} \).