Dada a função f(x,y,z)=xy+x^2cos(y+z^2) I) Obtenha sua diferencial total em (1,0,0) II) Obtenha o Polinômio de Taylor de ordem dois de f, no ponto (1,0,0) a df(1,0,0)=1+2dx+dy:Q(x,y,z)=x^2-(1)/(2)y^2+xy b. df(1,0,0)=2dx+dy:Q(x,y,z)=x^2-(1)/(2)y^2+xy C. df(1,0,0)=2dx+dytherefore :Q(x,y,z)=1+x^2-(1)/(2)y^2+xy d. df(1,0,0)=1+2dx+dy,;Q(x,y,z)=1+x^2-(1)/(2)y^2+xy e. Nenhuma das anteriores.

Vamos corrigir a análise e verificar novamente as opções fornecidas.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de \( f(x, y, z) = xy + x^2 \cos(y + z^2) \) em relação a cada variável:<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = y + 2x \cos(y + z^2)<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = x - x^2 \sin(y + z^2)<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial z} = -2x^2 z \sin(y + z^2)<br />\]<br /><br />Agora, vamos calcular as derivadas parciais em \( (1, 0, 0) \):<br /><br />\[<br />\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1, 0, 0)} = 1 + 2 \cos(0) = 1 + 2 = 3<br />\]<br /><br />\[<br />\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1, 0, 0)} = 1 - 1 \cdot \sin(0) = 1 - 0 = 1<br />\]<br /><br />\[<br />\left. \frac{\partial f}{\partial z} \right|_{(1, 0, 0)} = -2 \cdot 1^2 \cdot 0 \cdot \sin(0) = 0<br />\]<br /><br />Portanto, a derivada total em \( (1, 0, 0) \) é:<br /><br />\[<br />df(1, 0, 0) = 3 \, dx + dy<br />\]<br /><br />Agora, vamos calcular o polinômio de Taylor de ordem dois para \( f \) no ponto \( (1, 0, 0) \):<br /><br />\[<br />f(x, y, z) \approx f(1, 0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(1, 0, 0) \cdot (x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 0, 0) \cdot (y - 0) + \frac{\partial f}{\partial z}(1, 0, 0) \cdot (z - 0)<br />\]<br /><br />\[<br />f(x, y, z) \approx 1 + 3(x - 1) + y<br />\]<br /><br />\[<br />f(x, y, z) \approx 1 + 3x - 3 + y<br />\]<br /><br />\[<br />f(x, y, z) \approx 3x + y - 2<br />\]<br /><br />Portanto, o polinômio de Taylor de ordem dois é:<br /><br />\[<br />Q(x, y, z) = 3x + y - 2<br />\]<br /><br />Comparando com as opções fornecidas, nenhuma delas corresponde corretamente à derivada total e ao polinômio de Taylor calculados. Portanto, a resposta correta é:<br /><br />e. Nenhuma das anteriores.