Calcule a integral. int (x^5+x^2+2)/(x^3)-xdx

Para calcular la integral \(\int \frac{x^5 + x^2 + 2}{x^3 - x} \, dx\), primero simplificamos la fracción. Observamos que el numerador no se puede simplificar directamente con el denominador. Entonces, descomponemos la fracción en términos más simples:<br /><br />\[<br />\frac{x^5 + x^2 + 2}{x^3 - x} = \frac{x^5 + x^2 + 2}{x(x^2 - 1)} = \frac{x^5 + x^2 + 2}{x(x-1)(x+1)}<br />\]<br /><br />Para simplificar, realizamos la división polinómica:<br /><br />\[<br />\frac{x^5 + x^2 + 2}{x^3 - x} = \frac{x^5 + x^2 + 2}{x^3 - x} = \frac{x^5 + x^2 + 2}{x^3 - x} = \frac{x^5 + x^2 + 2}{x^3 - x}<br />\]<br /><br />Ahora, descomponemos la fracción en términos más simples:<br /><br />\[<br />\frac{x^5 + x^2 + 2}{x^3 - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}<br />\]<br /><br />Multiplicamos ambos lados por \(x(x-1)(x+1)\) para eliminar los denominadores:<br /><br />\[<br />x^5 + x^2 + 2 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)<br />\]<br /><br />Simplificamos y resolvemos para \(A\), \(B\), y \(C\):<br /><br />\[<br />x^5 + x^2 + 2 = A(x^2 - 1) + B(x^2 + x) + C(x^2 - x)<br />\]<br /><br />\[<br />x^5 + x^2 + 2 = (A + B + C)x^2 + (-A + B - C)x - A<br />\]<br /><br />Igualando los coeficientes, obtenemos el sistema de ecuaciones:<br /><br />\[<br />A + B + C = 0<br />\]<br />\[<br />-B - C = 1<br />\]<br />\[<br />-A = 2<br />\]<br /><br />Resolviendo este sistema, encontramos \(A = -2\), \(B = 1\), y \(C = -1\). Entonces, la fracción se descompone en:<br /><br />\[<br />\frac{-2}{x} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}<br />\]<br /><br />Ahora, integramos cada término por separado:<br /><br />\[<br />\int \left( \frac{-2}{x} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) \, dx = -2 \ln|x| + \ln|x-1| - \ln|x+1| + C<br />\]<br /><br />Por lo tanto, la integral es:<br /><br />\[<br />\int \frac{x^5 + x^2 + 2}{x^3 - x} \, dx = -2 \ln|x| + \ln|x-1| - \ln|x+1| + C<br />\]