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Matemática
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Determine m para que o conjunto (2,-3,2m),(1,0,m+4),(-1,3,m-2) seja linearmente independente. Escolha uma opção: a. mneq 3 b. m=3 C. mneq -3 d. m=-3

Pergunta

Determine m para que o conjunto  (2,-3,2m),(1,0,m+4),(-1,3,m-2)  seja linearmente
independente.
Escolha uma opção:
a. mneq 3
b. m=3
C. mneq -3
d. m=-3

Determine m para que o conjunto (2,-3,2m),(1,0,m+4),(-1,3,m-2) seja linearmente independente. Escolha uma opção: a. mneq 3 b. m=3 C. mneq -3 d. m=-3

Solução

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Karla MariaMestre · Tutor por 5 anos

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Para determinar o valor de \( m \) para o qual o conjunto \(\{ (2,-3,2m),(1,0,m+4),(-1,3,m-2)\} \) seja linearmente independente, precisamos verificar se a matriz formada pelos vetores dessa família tem determinante diferente de zero.<br /><br />A matriz dos vetores é:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />2 & -3 & 2m \\<br />1 & 0 & m+4 \\<br />-1 & 3 & m-2<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Calculamos o determinante dessa matriz:<br /><br />\[<br />\text{det} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & m+4 \\ 3 & m-2 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & m+4 \\ -1 & m-2 \end{vmatrix} + 2m \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}<br />\]<br /><br />Calculamos cada menor:<br /><br />\[<br />\begin{vmatrix} 0 & m+4 \\ 3 & m-2 \end{vmatrix} = 0 \cdot (m-2) - (m+4) \cdot 3 = -3(m+4)<br />\]<br /><br />\[<br />\begin{vmatrix} 1 & m+4 \\ -1 & m-2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (m-2) - (m+4) \cdot (-1) = m-2 - (-m-4) = m-2 + m+4 = 2m + 2<br />\]<br /><br />\[<br />\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 0 \cdot (-1) = 3<br />\]<br /><br />Substituímos na fórmula do determinante:<br /><br />\[<br />\text{det} = 2 \cdot (-3(m+4)) - (-3) \cdot (2m + 2) + 2m \cdot 3<br />\]<br /><br />\[<br />= -6(m+4) + 6m + 6 + 6m<br />\]<br /><br />\[<br />= -6m - 24 + 6m + 6 + 6m<br />\]<br /><br />\[<br />= 6m - 18<br />\]<br /><br />Para que a matriz seja linearmente independente, o determinante deve ser diferente de zero:<br /><br />\[<br />6m - 18 \neq 0<br />\]<br /><br />\[<br />6m \neq 18<br />\]<br /><br />\[<br />m \neq 3<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />a. \( m \neq 3 \)
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