Pergunta

7. int _(C)(x+2y)dx+x^2dy C consiste nos segmentos de reta de (0,0) a (2,1) e de (2,1) a (3,0)
Solução

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QuitériaProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para resolver a integral de linha dada, podemos dividir a curva \(C\) em dois segmentos: o primeiro segmento é a linha reta que conecta os pontos \((0,0)\) e \((2,1)\), e o segundo segmento é a linha reta que conecta os pontos \((2,1)\) e \((3,0)\).<br /><br />Vamos calcular a integral de linha para cada segmento separadamente e depois somar os resultados.<br /><br />Segmento 1: de \((0,0)\) a \((2,1)\)<br /><br />Para o primeiro segmento, podemos usar a parametrização \(x = 2t\) e \(y = t\), onde \(t\) varia de 0 a 1.<br /><br />Substituindo essas expressões na integral, temos:<br /><br />\(\int_{C_1} (x+2y)dx + x^2dy = \int_{0}^{1} (2t+2t)(2dt) + (2t)^2dt\)<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\(\int_{0}^{1} (4t+2t)(2dt) + (2t)^2dt = \int_{0}^{1} (6t+4t^2)dt\)<br /><br />Integrando, temos:<br /><br />\(\int_{0}^{1} (6t+4t^2)dt = \left[3t^2 + \frac{4}{3}t^3\right]_{0}^{1} = 3 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}\)<br /><br />Segmento 2: de \((2,1)\) a \((3,0)\)<br /><br />Para o segundo segmento, podemos usar a parametrização \(x = 3t\) e \(y = 1-t\), onde \(t\) varia de 0 a 1.<br /><br />Substituindo essas expressões na integral, temos:<br /><br />\(\int_{C_2} (x+2y)dx + x^2dy = \int_{0}^{1} (3t+2(1-t))(3dt) + (3t)^2dt\)<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\(\int_{0}^{1} (3t+2-2t)(3dt) + (3t)^2dt = \int_{0}^{1} (t+2)(3dt) + 9t^2dt\)<br /><br />Integrando, temos:<br /><br />\(\int_{0}^{1} (t+2)(3dt) + 9t^2dt = \left[\frac{3}{2}t^2 + 3t\right]_{0}^{1} + 9\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{2} + 3 + 3 = \frac{15}{2}\)<br /><br />Agora, somamos os resultados das duas integrais de linha:<br /><br />\(\frac{13}{3} + \frac{15}{2} = \frac{26}{6} + \frac{45}{6} = \frac{71}{6}\)<br /><br />Portanto, o valor da integral de linha dada é \(\frac{71}{6}\).
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