3. (1,0 ponto Calcule o comprimento da curva. (a) f(x)=4-2x;xin [1,4] (b) ) x=2-3t^4 y=4t^4+12 ;tin [2,5]

Para calcular o comprimento da curva, podemos usar a fórmula do comprimento da curva paramétrica:<br /><br />$C = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$<br /><br />Vamos calcular o comprimento da curva para cada caso:<br /><br />(a) $f(x)=4-2x;x\in [1,4]$<br /><br />Para calcular o comprimento da curva, precisamos encontrar as derivadas de $x$ em relação a $t$ e $y$ em relação a $t$. No entanto, como não há uma função $t$ dada, não podemos calcular o comprimento da curva para esse caso.<br /><br />(b) $\{ \begin{matrix} x=2-3t^{4}\\ y=4t^{4}+12\end{matrix} ;t\in [2,5]$<br /><br />Para calcular o comprimento da curva, precisamos encontrar as derivadas de $x$ em relação a $t$ e $y$ em relação a $t$. Vamos calcular essas derivadas:<br /><br />$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2-3t^{4}) = -12t^{3}$<br />$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^{4}+12) = 16t^{3}$<br /><br />Agora, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula:<br /><br />$C = \int_{2}^{5} \sqrt{\left(-12t^{3}\right)^2 + \left(16t^{3}\right)^2} dt$<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz quadrada:<br /><br />$C = \int_{2}^{5} \sqrt{144t^{6} + 256t^{6}} dt$<br />$C = \int_{2}^{5} \sqrt{400t^{6}} dt$<br />$C = \int_{2}^{5} 20t^{3} dt$<br /><br />Agora, podemos calcular a integral:<br /><br />$C = 20 \int_{2}^{5} t^{3} dt$<br />$C = 20 \left[ \frac{t^{4}}{4} \right]_{2}^{5}$<br />$C = 20 \left( \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} \right)$<br />$C = 20 \left( \frac{625}{4} - \frac{16}{4} \right)$<br />$C = 20 \left( \frac{609}{4} \right)$<br />$C = 20 \cdot \frac{609}{4}$<br />$C = 5 \cdot 609$<br />$C = 3045$<br /><br />Portanto, o comprimento da curva é 3045 unidades.