4) Calcule a área da superficie obtida pela rotação da curva y=sqrt (1+e^x),0leqslant xleqslant 1e m torno do eixo x.

Para calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = \sqrt{1 + e^x} \) em torno do eixo \( x \), utilizamos a fórmula para a área de superfície de revolução:<br /><br />\[<br />A = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx<br />\]<br /><br />Primeiro, calculamos a derivada de \( y \):<br /><br />\[<br />y = \sqrt{1 + e^x}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + e^x}} \cdot e^x = \frac{e^x}{2\sqrt{1 + e^x}}<br />\]<br /><br />Agora, substituímos na fórmula da área:<br /><br />\[<br />A = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{1 + e^x} \sqrt{1 + \left(\frac{e^x}{2\sqrt{1 + e^x}}\right)^2} \, dx<br />\]<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz:<br /><br />\[<br />1 + \left(\frac{e^x}{2\sqrt{1 + e^x}}\right)^2 = 1 + \frac{e^{2x}}{4(1 + e^x)}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{4(1 + e^x) + e^{2x}}{4(1 + e^x)} = \frac{4 + 4e^x + e^{2x}}{4(1 + e^x)}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{(2 + e^x)^2}{4(1 + e^x)}<br />\]<br /><br />Portanto, a integral se torna:<br /><br />\[<br />A = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{1 + e^x} \cdot \frac{2 + e^x}{2\sqrt{1 + e^x}} \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />= 2\pi \int_{0}^{1} \frac{2 + e^x}{2} \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />= \pi \int_{0}^{1} (2 + e^x) \, dx<br />\]<br /><br />Calculando a integral:<br /><br />\[<br />= \pi \left[ 2x + e^x \right]_{0}^{1}<br />\]<br /><br />\[<br />= \pi \left[ (2 \times 1 + e^1) - (2 \times 0 + e^0) \right]<br />\]<br /><br />\[<br />= \pi \left[ 2 + e - 1 \right]<br />\]<br /><br />\[<br />= \pi (1 + e)<br />\]<br /><br />Portanto, a área da superfície é \( \pi (1 + e) \) metros quadrados.