4) João e Maria têm um cofre. Eles combinaram que, cada vez que algum deles trocar a senha desse cofre, enviará , para o outro, uma mensagem com um número, cujos expoentes da fatoração formem a senha programada. Ao longo de uma semana, eles trocaram as seguintes mensagens: 121968 07:21 √/ Hoje 85995 07:19 Determine a senha que foi representada em cada mensagem. 3) Qual o menor número não nulo que é simultaneamente múltiplo de 84 e de 72? 4) Qual o maior número que divide tanto 0384 quanto o 704?

Vamos resolver cada um dos problemas apresentados:<br /><br />### Problema 1: Determinar a senha que foi representada em cada mensagem<br /><br />Para encontrar a senha, precisamos decompor os números em seus fatores primos e encontrar os expoentes que formam a senha.<br /><br />1. **Mensagem 1: 121968**<br /> - Fatores primos: \(2^6 \times 3^2 \times 7^1\)<br /> - Expoentes: 6, 2, 1<br /> - Senha: 6221<br /><br />2. **Mensagem 2: 85995**<br /> - Fatores primos: \(3^2 \times 5^2 \times 7^1\)<br /> - Expoentes: 2, 2, 1<br /> - Senha: 221<br /><br />### Problema 2: Menor número não nulo que é simultaneamente múltiplo de 84 e de 72<br /><br />Para encontrar o menor múltiplo comum (MMC) de 84 e 72, podemos decompor os números em seus fatores primos:<br /><br />- 84: \(2^2 \times 3 \times 7\)<br />- 72: \(2^3 \times 3^2\)<br /><br />O MMC é encontrado pegando o maior expoente de cada fator primo presente:<br /><br />- \(2^3\) (do 72)<br />- \(3^2\) (do 72)<br />- \(7^1\) (do 84)<br /><br />Portanto, o MMC é \(2^3 \times 3^2 \times 7 = 8 \times 9 \times 7 = 504\).<br /><br />### Problema 3: Maior número que divide tanto 0384 quanto o 704<br /><br />Para encontrar o maior divisor comum (MDC) de 384 e 704, podemos decompor os números em seus fatores primos:<br /><br />- 384: \(2^7 \times 3^1\)<br />- 704: \(2^6 \times 7^1\)<br /><br />O MDC é encontrado pegando o menor expoente de cada fator primo presente em ambos os números:<br /><br />- \(2^6\) (o menor expoente de 2 é 6)<br /><br />Portanto, o MDC é \(2^6 = 64\).<br /><br />### Resumo das respostas:<br /><br />1. Senhas representadas nas mensagens:<br /> - Mensagem 1: 6221<br /> - Mensagem 2: 221<br /><br />2. Menor número não nulo que é simultaneamente múltiplo de 84 e de 72: 504<br /><br />3. Maior número que divide tanto 0384 quanto o 704: 64