Pergunta

2. Determine o volume dos sólidos obtidos pela rotação em torno do Eixo y da região S delimitada pelos gráficos das equações dadas: a) y=ln(x),y=-1,y=2ex=0 c) x=y^2+1,x=(1)/(2),y=-2ey=2 b) y=x^3 e y=x^2 d) y=x^2ey=6x-2x^2
Solução

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AndréProfissional · Tutor por 6 anos
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Para determinar o volume dos sólidos obtidos pela rotação em torno do eixo y da região S delimitada pelos gráficos das equações dadas, podemos usar o método dos discos ou anéis.<br /><br />a) Para a equação $y=\ln(x)$, $y=-1$, $y=2$, $x=0$, podemos usar o método dos discos. O raio do disco será dado por $r=\ln(x)$ e a altura será dada por $dx$. O volume será dado por $V=\pi\int_{0}^{2}(\ln(x))^2 dx$.<br /><br />b) Para a equação $y=x^{3}$ e $y=x^{2}$, podemos usar o método dos discos. O raio do disco será dado por $r=x^{3}$ e a altura será dada por $dx$. O volume será dado por $V=\pi\int_{0}^{1}(x^{3})^2 dx$.<br /><br />c) Para a equação $x=y^{2}+1$, $x=\frac{1}{2}$, $y=-2$, $y=2$, podemos usar o método dos discos. O raio do disco será dado por $r=\sqrt{x-1}$ e a altura será dada por $dy$. O volume será dado por $V=\pi\int_{-2}^{2}(\sqrt{x-1})^2 dy$.<br /><br />d) Para a equação $y=x^{2}$ e $y=6x-2x^{2}$, podemos usar o método dos discos. O raio do disco será dado por $r=x^{2}$ e a altura será dada por $dx$. O volume será dado por $V=\pi\int_{0}^{3}(x^{2})^2 dx$.<br /><br />Lembrando que o intervalo de integração deve ser ajustado de acordo com as equações dadas.
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