Problema 7: OBS: Coloque apenas um valor numérico como resposta. Por exemplo, se a resposta for 2025, deve-se colocar como resposta : 2025. Não coloque respostas como "Número 2025'' . e outras semelhantes. Sea,b.csão raizes de x^3-3x^2+2x-1=0 calcule (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 __

Dado que \( a, b, c \) são raízes da equação cúbica \( x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 \), podemos usar as propriedades das raízes de polinômios para resolver o problema.<br /><br />Pelas relações de Viète:<br />- \( a + b + c = 3 \),<br />- \( ab + bc + ca = 2 \),<br />- \( abc = 1 \).<br /><br />Queremos calcular \( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \). Expandindo essa expressão:<br />\[<br />(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca).<br />\]<br /><br />Agora, calculamos \( a^2 + b^2 + c^2 \) usando a identidade:<br />\[<br />a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca).<br />\]<br />Substituímos os valores conhecidos:<br />\[<br />a^2 + b^2 + c^2 = 3^2 - 2(2) = 9 - 4 = 5.<br />\]<br /><br />Substituímos na expressão original:<br />\[<br />(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2(5 - 2) = 2 \cdot 3 = 6.<br />\]<br /><br />Resposta final: **6**.