relende -se construir uma escultura de concreto de forma piramidal regular , na qual a arestada base qua- drangular meca 6 mea aresta lateral meça 3sqrt (5)m Determine: a) a área total da superficie da escultura; b) o volume da escultura; c) a medida do ângulo alpha , cujos lados são o apótema da pirâmide eo apótema da base.

a) Para determinar a área total da superfície da escultura, precisamos calcular a área da base e a área das faces laterais.<br /><br />A área da base é dada por:<br />\[ \text{Área da base} = \text{Lado}^2 = 6^2 = 36 \, \text{m}^2 \]<br /><br />A área de uma face lateral é dada por:<br />\[ \text{Área lateral} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Altura} \]<br /><br />Como a altura da face lateral é o apótema da base, que é \( \frac{6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5} \, \text{m} \), a área de uma face lateral é:<br />\[ \text{Área lateral} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5} \, \text{m}^2 \]<br /><br />Como a pirâmide tem 4 faces laterais, a área total das faces laterais é:<br />\[ \text{Área total lateral} = 4 \times 9\sqrt{5} = 36\sqrt{5} \, \text{m}^2 \]<br /><br />Portanto, a área total da superfície da escultura é:<br />\[ \text{Área total} = \text{Área da base} + \text{Área total lateral} = 36 + 36\sqrt{5} \, \text{m}^2 \]<br /><br />b) O volume da pirâmide é dado por:<br />\[ \text{Volume} = \frac{1}{3} \times \text{Área da base} \times \text{Altura} \]<br /><br />Como a altura da pirâmide é o apótema da base, que é \( 3\sqrt{5} \, \text{m} \), o volume é:<br />\[ \text{Volume} = \frac{1}{3} \times 36 \times 3\sqrt{5} = 36\sqrt{5} \, \text{m}^3 \]<br /><br />c) Para determinar o ângulo \( \alpha \), podemos usar a relação trigonométrica entre o apótema da pirâmide e o apótema da base. O apótema da pirâmide é o meio dos lados da base, que é \( \frac{6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5} \, \text{m} \), e o apótema da base é \( 3\sqrt{5} \, \text{m} \).<br /><br />Portanto, o ângulo \( \alpha \) é dado por:<br />\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Apótema da pirâmide}}{\text{Apótema da base}} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = 1 \]<br /><br />Como \( \cos(\alpha) = 1 \), o ângulo \( \alpha \) é \( 0^\circ \).