4. Sete cidades estão dispostas de modo que represen. tam os vértices de tum poligono convexo. Essas ride estão interligadas, duas a duas, por apenas cida estrada. Quantas estradas, ao total, ligam essas sete cidades? REVISITANDO A MATRIZ a saeb Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar a ha- bilidade de resolver problema mais: ndo propriedades dos poligonos: número de diagonais.Flque atentedades resolução e marque apenas cada softnativa. Caso sejane. cessário, tire a prova real de cada solução. Item 1: Emum poligono convexo o número de diagonaisé quatro vezes maior que o número de lados. Quantos lados esse poligono possui? (A) 8 (D) 11 (B) 9 (E) 12 (C) 10 Item 2: Um poligono convexo tem 44 diagonais. Se adicio- narmos um vértice a esse poligono, formaremos um novo poligono convexo. Quantas diagonais haverá nesse novo poligono? (A) 45 (D) 54 (B) 48 (E) 60 (C) 52

Vamos resolver o problema das sete cidades:<br /><br />Se cada cidade está interligada a todas as outras cidades, exceto a si mesma, então estamos falando de um grafo completo. Em um grafo completo com 7 vértices (cidades), cada vértice está conectado a todos os outros vértices.<br /><br />O número de arestas (estradas) em um grafo completo com \( n \) vértices é dado pela fórmula \( \frac{n(n-1)}{2} \).<br /><br />Aplicando essa fórmula para 7 cidades:<br /><br />\[ \frac{7(7-1)}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21 \]<br /><br />Portanto, há 21 estradas que ligam essas sete cidades.<br /><br />Agora, vamos responder às perguntas sobre polígonos:<br /><br />**Item 1: Em um polígono convexo o número de diagonais é quatro vezes maior que o número de lados. Quantos lados esse polígono possui?**<br /><br />Vamos chamar o número de lados de \( n \). O número de diagonais em um polígono com \( n \) lados é dado por \( \frac{n(n-3)}{2} \).<br /><br />De acordo com a questão, o número de diagonais é quatro vezes o número de lados:<br /><br />\[ \frac{n(n-3)}{2} = 4n \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:<br /><br />\[ n(n-3) = 8n \]<br /><br />Reorganizando a equação:<br /><br />\[ n^2 - 3n = 8n \]<br /><br />\[ n^2 - 11n = 0 \]<br /><br />Fatorando a equação:<br /><br />\[ n(n - 11) = 0 \]<br /><br />Portanto, \( n = 11 \) ou \( n = 0 \). Como o número de lados não pode ser zero, temos:<br /><br />\[ n = 11 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é (D) 11.<br /><br />**Item 2: Um polígono convexo tem 44 diagonais. Se adicionarmos um vértice a esse polígono, formaremos um novo polígono convexo. Quantas diagonais haverá nesse novo polígono?**<br /><br />Vamos chamar o número original de lados do polígono de \( n \). O número de diagonais em um polígono com \( n \) lados é dado por \( \frac{n(n-3)}{2} \).<br /><br />De acordo com a questão, temos:<br /><br />\[ \frac{n(n-3)}{2} = 44 \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 2:<br /><br />\[ n(n-3) = 88 \]<br /><br />Resolvendo a equação quadrática:<br /><br />\[ n^2 - 3n - 88 = 0 \]<br /><br />Usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 352}}{2} \]<br /><br />\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{361}}{2} \]<br /><br />\[ n = \frac{3 \pm 19}{2} \]<br /><br />Portanto, \( n = 11 \) ou \( n = -2 \). Como o número de lados não pode ser negativo, temos:<br /><br />\[ n = 11 \]<br /><br />Ao adicionar um vértice, o novo polígono terá \( n + 1 = 12 \) lados. O número de diagonais em um polígono com \( n + 1 \) lados é dado por \( \frac{(n+1)(n-2)}{2} \):<br /><br />\[ \frac{12(12-2)}{2} = \frac{12 \cdot 10}{2} = \frac{120}{2} = 60 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é (E) 60.