deter a questao invalidade e perda de direito a questionar a correcão so nào atendida está condicao presentar on 1) Calcule a derivada das funções: (1,3) f(x)=(x^2+x^3senx)/(2+x^3) 2) Determine (dy)/(dx) da função: (1,3) 3) Uma escada com 13 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1.3m/s quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 5 m da parede? (1,4)

Vamos resolver cada uma das questões apresentadas:<br /><br />### 1) Calcule a derivada das funções:<br /><br />Para calcular a derivada da função \( f(x) = \frac{x^2 + x^3 \sin(x)}{2 + x^3} \), utilizamos a regra do quociente e a regra da cadeia.<br /><br />\[ f(x) = \frac{u(x(x)} \]<br /><br />onde \( u(x) = x^2 + x^3 \sin(x) \) e \( v(x) = 2 + x^3 \).<br /><br />Primeiro, calculamos as derivadas de \( u(x) \) e \( v(x) \):<br /><br />\[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x^3 \sin(x)) = 2x + 3x^2 \cos(x) + x^3 \cos(x) \]<br /><br />\[ v'(x) = \frac{d}{dx}(2 + x^3) = 3x^2 \]<br /><br />Agora, aplicamos a regra do quociente:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]<br /><br />Substituindo \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) e \( v'(x) \):<br /><br />\[ f'(x) = \frac{(2x + 3x^2 \cos(x) + x^3 \cos(x))(2 + x^3) - (x^2 + x^3 \sin(x))(3x^2)}{(2 + x^3)^2} \]<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos a derivada de \( f(x) \).<br /><br />### 2) Determine \(\frac{dy}{dx}\) da função:<br /><br />Para calcular \(\frac{dy}{dx}\), precisamos conhecer a função \( y \). Como a função \( y \) não foi fornecida, não é possível calcular a derivada.<br /><br />### 3) Uma escada com 13 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de \(1.3 \, \text{m/s}\), quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 5 m da parede?<br /><br />Vamos usar o teorema de Pitágoras para relacionar a base \( x \) e a altura \( h \) da escada:<br /><br />\[ x^2 + h^2 = 13^2 \]<br /><br />Derivando em relação ao tempo \( t \):<br /><br />\[ 2x \frac{dx}{dt} + 2h \frac{dh}{dt} = 0 \]<br /><br />Dado que \( \frac{dx}{dt} = 1.3 \, \text{m/s} \) e \( x = 5 \, \text{m} \), substituímos esses valores para encontrar \( \frac{dh}{dt} \):<br /><br />\[ 2(5)(1.3) + 2h \frac{dh}{dt} = 0 \]<br /><br />\[ 13 + 2h \frac{dh}{dt} = 0 \]<br /><br />\[ 2h \frac{dh}{dt} = -13 \]<br /><br />\[ \frac{dh}{dt} = -\frac{13}{2h} \]<br /><br />Para \( x = 5 \, \text{m} \), usamos o teorema de Pitágoras para encontrar \( h \):<br /><br />\[ 5^2 + h^2 = 13^2 \]<br /><br />\[ 25 + h^2 = 169 \]<br /><br />\[ h^2 = 144 \]<br /><br />\[ h = 12 \, \text{m} \]<br /><br />Substituindo \( h = 12 \, \text{m} \) na equação:<br /><br />\[ \frac{dh}{dt} = -\frac{13}{2(12)} \]<br /><br />\[ \frac{dh}{dt} = -\frac{13}{24} \, \text{m/s} \]<br /><br />Portanto, o topo da escada está escorregando para baixo na parede a uma taxa de \( \frac{13}{24} \, \text{m/s} \).