Pergunta

f(x)= ) cos(x)¶&xlt 0 1-2x¶&xgeqslant 0 Calcule a integral definida. int _(-(pi )/(2))^1f(x)dx= Escolha 1 resposta: A -(1)/(pi )+1 (C) D -(1)/(pi ) C -1 D 1
Solução

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AlexandreMestre · Tutor por 5 anos
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Para calcular a integral definida \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{1} f(x) \, dx\), precisamos considerar a definição da função \(f(x)\) em cada intervalo.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a integral no intervalo \(-\frac{\pi}{2} \leq x < 0\), onde \(f(x) = \cos(x)\):<br /><br />\[<br />\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos(x) \, dx<br />\]<br /><br />Usando a integral conhecida da função cosseno, temos:<br /><br />\[<br />\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C<br />\]<br /><br />Aplicando os limites de integração, obtemos:<br /><br />\[<br />\left[ \sin(x) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \sin(0) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - (-1) = 1<br />\]<br /><br />Agora, vamos calcular a integral no intervalo \(0 \leq x \leq 1\), onde \(f(x) = 1 - 2x\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} (1 - 2x) \, dx<br />\]<br /><br />Podemos calcular essa integral diretamente:<br /><br />\[<br />\int (1 - 2 \, dx = \int 1 \, dx - \int 2x \, dx = x - x^2 + C<br />\]<br /><br />Aplicando os limites de integração, obtemos:<br /><br />\[<br />\left[ x - x^2 \right]_{0}^{1} = (1 - 1^2) - (0 - 0^2) = 1 - 0 = 1<br />\]<br /><br />Somando as duas partes, temos:<br /><br />\[<br />\int_{-\frac{\pi}{2}}^{1} f(x) \, dx = 1 + 1 = 2<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />D) 1
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