1) Dados os vetores overrightarrow (u)=(2,1,1),overrightarrow (v)=(3,2,0) e overrightarrow (w)=(1,-1,-3) , responda a cada um dos itens abaixo: (a) Verifique se (overrightarrow (u),overrightarrow (v),overrightarrow (w)) é linearmente independente; (b) caso possível,expresse o vetor overrightarrow (p)=(1,-3,-5) como combinação linear dos vetores overrightarrow (u),overrightarrow (v),eoverrightarrow (w)

(a) Para verificar se os vetores $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$ são linearmente independentes, podemos formar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes.<br /><br />A matriz dos coeficientes é dada por:<br /><br />$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \end{bmatrix}$<br /><br />Calculando o determinante dessa matriz, obtemos:<br /><br />$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$<br /><br />$= 2 \cdot (2 \cdot (-3) - (-1) \cdot 0) - 3 \cdot (1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1)$<br /><br />$= 2 \cdot (-6) - 3 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2)$<br /><br />$= -12 + 6 - 2$<br /><br />$= -8$<br /><br />Como o determinante é diferente de zero, podemos concluir que os vetores $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$ são linearmente independentes.<br /><br />(b) Para expressar o vetor $\overrightarrow{p}$ como combinação linear dos vetores $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$, podemos escrever a equação:<br /><br />$\overrightarrow{p} = a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v} + c \overrightarrow{w}$<br /><br />Substituindo os valores dos vetores, temos:<br /><br />$(1, -3, -5) = a (2, 1, 1) + b (3, 2, 0) + c (1, -1, -3)$<br /><br />Agora, podemos escrever isso como um sistema de equações lineares:<br /><br />$\begin{cases} 2a + 3b + c = 1 \\ a + 2b - c = -3 \\ a + b - 3c = -5 \end{cases}$<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de $a$, $b$ e $c$:<br /><br />$a = 1$<br /><br />$b = -1$<br /><br />$c = -1$<br /><br />Portanto, o vetor $\overrightarrow{p}$ pode ser expresso como combinação linear dos vetores $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$ da seguinte forma:<br /><br />$\overrightarrow{p} = 1 \cdot \overrightarrow{u} - 1 \cdot \overrightarrow{v} - 1 \cdot \overrightarrow{w}$