(13.) Mostrar que os vetores v_(1)=(2,1)ev_(2)=(1,1) geram o R^2

Para mostrar que os vetores $v_{1}=(2,1)$ e $v_{2}=(1,1)$ geram o $R^{2}$, precisamos demonstrar que qualquer vetor no espaço bidimensional pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.<br /><br />Vamos considerar um vetor genérico $v = (x, y)$ no espaço $R^{2}$. Queremos encontrar constantes $a$ e $b$ tais que $v = a \cdot v_{1} + b \cdot v_{2}$.<br /><br />Substituindo as expressões dos vetores $v_{1}$ e $v_{2}$, temos:<br /><br />$(x, y) = a \cdot (2, 1) + b \cdot (1, 1)$<br /><br />Isso nos dá o sistema de equações:<br /><br />$\begin{cases} 2a + b = x \\ a + b = y \end{cases}$<br /><br />Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar $a$ e $b$ em termos de $x$ e $y$:<br /><br />$a = x - y$<br />$b = y$<br /><br />Portanto, qualquer vetor $v = (x, y)$ no espaço $R^{2}$ pode ser escrito como:<br /><br />$v = (x, y) = (x - y) \cdot v_{1} + y \cdot v_{2}$<br /><br />Como conseguimos expressar qualquer vetor no espaço $R^{2}$ como uma combinação linear dos vetores $v_{1}$ e $v_{2}$, podemos concluir que esses vetores geram o $R^{2}$.