Pergunta

9. int _(1)^4int _(1)^2((x)/(y)+(y)/(x))dydx
Solução

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UiraProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para resolver a integral dupla dada, vamos primeiro integrar em relação a \( y \) e depois em relação a \( x \).<br /><br />A integral dupla é:<br /><br />\[ \int_{1}^{4} \int_{1}^{2} \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \, dy \, dx \]<br /><br />Primeiro, integramos em relação a \( y \):<br /><br />\[ \int_{1}^{2} \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \, dy \]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br />\[ \int_{1}^{2} \frac{x}{y} \, dy + \int_{1}^{2} \frac{y}{x} \, dy \]<br /><br />Para a primeira integral:<br /><br />\[ \int_{1}^{2} \frac{x}{y} \, dy = x \int_{1}^{2} \frac{1}{y} \, dy = x \left[ \ln|y| \right]_{1}^{2} = x (\ln 2 - \ln 1) = x \ln 2 \]<br /><br />Para a segunda integral:<br /><br />\[ \int_{1}^{2} \frac{y}{x} \, dy = \frac{1}{x} \int_{1}^{2} y \, dy = \frac{1}{x} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{x} \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2x} \]<br /><br />Portanto, a integral em relação a \( y \) é:<br /><br />\[ \int_{1}^{2} \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \, dy = x \ln 2 + \frac{3}{2x} \]<br /><br />Agora, integramos essa expressão em relação a \( x \):<br /><br />\[ \int_{1}^{4} \left( x \ln 2 + \frac{3}{2x} \right) \, dx \]<br /><br />Separando em duas integrais:<br /><br />\[ \int_{1}^{4} x \ln 2 \, dx + \int_{1}^{4} \frac{3}{2x} \, dx \]<br /><br />Para a primeira integral:<br /><br />\[ \int_{1}^{4} x \ln 2 \, dx = \ln 2 \int_{1}^{4} x \, dx = \ln 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \ln 2 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \ln 2 \left( 8 - \frac{1}{2} \right) = \ln 2 \cdot \frac{15}{2} = \frac{15 \ln 2}{2} \]<br /><br />Para a segunda integral:<br /><br />\[ \int_{1}^{4} \frac{3}{2x} \, dx = \frac{3}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx = \frac{3}{2} \left[ \ln|x| \right]_{1}^{4} = \frac{3}{2} (\ln 4 - \ln 1) = \frac{3}{2} \ln 4 = \frac{3}{2} \cdot 2 \ln 2 = 3 \ln 2 \]<br /><br />Somando as duas integrais:<br /><br />\[ \frac{15 \ln 2}{2} + 3 \ln 2 = \frac{15 \ln 2}{2} + \frac{6 \ln 2}{2} = \frac{21 \ln 2}{2} \]<br /><br />Portanto, o valor da integral dupla é:<br /><br />\[ \boxed{\frac{21 \ln 2}{2}} \]
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