Para vert xvert lt 0.5 a aproximação de Taylor dada por sen xapprox x-(x^3)/(3!) o limite no erro produzido é menor que 0.0025 . Como sugestão, utilize o Teorema da Estimativa de séries alternadas. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso

Para verificar a veracidade da afirmação, vamos usar o Teorema da Estimativa de séries alternadas.<br /><br />O erro produzido pela aproximação de Taylor é dado por:<br /><br />$E_n = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} \cdot \frac{x^{n+1}}{3!}$<br /><br />onde $f^{(n+1)}(c)$ é a $(n+1)$-ésima derivada de $f(x)$ em algum ponto $c$ no intervalo de convergência.<br /><br />No caso da função $f(x) = \sin(x)$, as derivadas são:<br /><br />$f'(x) = \cos(x)$<br />$f''(x) = -\sin(x)$<br />$f'''(x) = -\cos(x)$<br />$f^{(4)}(x) = \sin(x)$<br /><br />Portanto, a quarta derivada é igual à função original, e todas as derivadas subsequentes também serão iguais à função original, mas com sinais alternados.<br /><br />Agora, vamos calcular o erro para $n=3$:<br /><br />$E_3 = \frac{f^{(4)}(c)}{4!} \cdot \frac{x^4}{3!} = \frac{\sin(c)}{4!} \cdot \frac{x^4}{3!} = \frac{\sin(c)}{24} \cdot x^4$<br /><br />Como $|x| < 0.5$, temos $x^4 < (0.5)^4 = 0.0625$. Além disso, $|\sin(c)| \leq 1$.<br /><br />Portanto, $E_3 < \frac{1}{24} \cdot 0.0625 = 0.0026041667$.<br /><br />Como $E_3 < 0.0025$, podemos concluir que o limite do erro produzido é menor que 0.0025.<br /><br />Portanto, a afirmação é verdadeira.