exercicte: le sefere (0, vec(i), vec(j), vec(k)) st orthonormé. [ }{l) x=13(2 x+y+z-3) y=13(x+2 y+z+3 z=13(-x+y+2 z-3 . ] deletrmien l'inage A' pharpolu point A (1 ;-2 ; 3)

Pour résoudre ce problème, nous devons d'abord comprendre ce que signifie "détruire l'image A' par le point A (1, -2, 3)". Cependant, il semble qu'il y ait une erreur dans l'énoncé des équations. Voici les équations corrigées :<br /><br />\[<br />\begin{array}{l}<br />\left\{\begin{array}{l}<br />x=13(2x+y+z-3) \\<br />y=13(x+2y+z+3) \\<br />z=13(-x+y+2z-3)<br />\end{array}\right.<br />\end{array}<br />\]<br /><br />Ces équations semblent incorrectes. Il est probable qu'il y ait une erreur de copie. Pour résoudre ce système, nous devons d'abord corriger les équations.<br /><br />Supposons que les équations correctes soient :<br /><br />\[<br />\begin{array}{l}<br />\left\{\begin{array}{l}<br />x=2x+y+z-3 \\<br />y=x+2y+z+3 \\<br />z=-x+y+2z-3<br />\end{array}\right.<br />\end{array}<br />\]<br /><br />Nous pouvons simplifier ce système en résolvant chaque équation pour \(x\), \(y\), et \(z\).<br /><br />1. Pour la première équation : \(x = 2x + y + z - 3\)<br /> \[<br /> x - 2x = y + z - 3 \implies -x = y + z - 3 \implies x = 3 - y - z<br /> \]<br /><br />2. Pour la deuxième équation : \(y = x + 2y + z + 3\)<br /> \[<br /> y - x = 2y + z + 3 \implies -x = y + z + 3 \implies y = -x - z - 3<br /> \]<br /><br />3. Pour la troisième équation : \(z = -x + y + 2z - 3\)<br /> \[<br /> z + x = y + 2z - 3 \implies x - y = z + 3 \implies z = x - y - 3<br /> \]<br /><br />Maintenant, nous avons trois nouvelles équations :<br /><br />\[<br />\begin{array}{l}<br />x = 3 - y - z \\<br />y = -x - z - 3 \\<br />z = x - y - 3<br />\end{array}<br />\]<br /><br />Nous pouvons substituer ces équations dans l'une des équations originales pour vérifier la cohérence. Par exemple, substituons dans la première équation :<br /><br />\[<br />x = 2(3 - y - z) + y + z - 3<br />\]<br /><br />Simplifions cette équation :<br /><br />\[<br />x = 6 - 2y - 2z + y + z - 3 \implies x = 3 - y - z<br />\]<br /><br />Cela confirme que notre première équation est correcte. Maintenant, nous pouvons résoudre ce système en utilisant les équations simplifiées.<br /><br />En substituant \(x = 3 - y - z\) dans \(y = -x - z - 3\), nous obtenons :<br /><br />\[<br />y = -(3 - y - z) - z - 3 \implies y = -3 + y + z - z - 3 \implies y = -6 + y \implies 0 = -6 \implies y = 6<br />\]<br /><br />Ensuite, substituons \(y = 6\) dans \(x = 3 - y - z\):<br /><br />\[<br />x = 3 - 6 - z \implies x = -3 - z<br />\]<br /><br />Enfin, substituons \(y = 6\) et \(x = -3 - z\) dans \(z = x - y - 3\):<br /><br />\[<br />z = (-3 - z) - 6 - 3 \implies z = -12 - z \implies 2z = -12 \implies z = -6<br />\]<br /><br />Ainsi, nous avons trouvé que \(x = -3 - (-6) = 3\), \(y = 6\), et \(z = -6\).<br /><br />Le point A' est donc \((3, 6, -6)\).