A gráfica Gramadela fez um estudo e constatou que a variação do lucro (em reais) na produção de banners em relação a quantidade é dada pela função (dL)/(dx)=2x+3 Sabe-se que se a gráfica não produz banners não há lucro.Com base nessas informações analise os itens que seguem. I- A função lucro é dada por Lx=x^2+3x II- Se forem produzidos 10 banners o lucro será de R 23,00 III- Se forem produzidos 2 banners o lucro será de R 10,00

Vamos analisar cada item com base na função derivada do lucro \(\frac{dL}{dx} = 2x + 3\).<br /><br />### I - A função lucro é dada por \(L(x) = x^2 + 3x\)<br /><br />Para verificar se essa função é correta, precisamos integrar a derivada \(\frac{dL}{dx} = 2x + 3\):<br /><br />\[<br />L(x) = \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C<br />\]<br /><br />Como sabemos que o lucro é zero quando não há banners produzidos (\(x = 0\)), podemos usar essa condição para encontrar \(C\):<br /><br />\[<br />L(0) = 0 \implies 0 = 0^2 + 3 \cdot 0 + C \implies C = 0<br />\]<br /><br />Portanto, a função lucro é:<br /><br />\[<br />L(x) = x^2 + 3x<br />\]<br /><br />Então, o item I está correto.<br /><br />### II - Se forem produzidos 10 banners, o lucro será de R\$ 23,00<br /><br />Para verificar isso, substituímos \(x = 10\) na função lucro \(L(x) = x^2 + 3x\):<br /><br />\[<br />L(10) = 10^2 + 3 \cdot 10 = 100 + 30 = 130<br />\]<br /><br />Portanto, se forem produzidos 10 banners, o lucro será de R\$ 130,00, e não R\$ 23,00. Então, o item II está incorreto.<br /><br />### III - Se forem produzidos 2 banners, o lucro será de R\$ 10,00<br /><br />Para verificar isso, substituímos \(x = 2\) na função lucro \(L(x) = x^2 + 3x\):<br /><br />\[<br />L(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10<br />\]<br /><br />Portanto, se forem produzidos 2 banners, o lucro será de R\$ 10,00. Então, o item III está correto.<br /><br />### Conclusão<br /><br />- O item I está correto.<br />- O item II está incorreto.<br />- O item III está correto.