Calcule a integral de linha int _(C)(1+xy)cdot ds onde C é a metade superior da circunferêneia x^2+y^2=1 Dados: int _(C)f(x,y)ds=int _(a)^bf(x(t),y(t))sqrt ([x'(t))]^2+[y'(t)]^2dt Parametrização: C: ) x(t)=1cdot cos(t) y(t)=1cdot sen(t) com 0leqslant tleqslant pi

Para calcular a integral de linha \(\int_{C}(1+xy) \cdot ds\), onde \(C\) é a metade superior da circunferência \(x^2 + y^2 = 1\), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Parametrizar a curva \(C\):**<br /> A metade superior da circunferência \(x^2 + y^2 = 1\) pode ser parametrizada como:<br /> \[<br /> C: \begin{cases}<br /> x(t)(t) \\<br /> y(t) = \sin(t)<br /> \end{cases}<br /> \]<br /> com \(0 \leq t \leq \pi\).<br /><br />2. **Calcular a deriv parametrização:**<br /> \[<br /> \frac{dx}{dt} = -\sin(t), \quad \frac{dy}{dt} = \cos(t)<br /> \]<br /> A norma da derivada é:<br /> \[<br /> \left\|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\| = \sqrt{\left(-\sin(t)\right)^2 + \left(\cos(t)\right)^2} = \sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)} = 1<br /> \]<br /><br />3. **Substituir na integral de linha:**<br /> \[<br /> \int_{C}(1+xy) \cdot ds = \int_{0}^{\pi} (1 + \cos(t) \sin(t)) \cdot 1 \, dt<br /> \]<br /><br />4. **Simplificar a integral:**<br /> \[<br /> \int_{0}^{\pi} (1 + \cos(t) \sin(t)) \, dt = \int_{0}^{\pi} 1 \, dt + \int_{0}^{\pi} \cos(t) \sin(t) \, dt<br /> \]<br /><br />5. **Resolver a integral:**<br /> - A primeira integral é simples:<br /> \[<br /> \int_{0}^{\pi} 1 \, dt = \pi<br /> \]<br /><br /> - Para a segunda integral, usamos a identidade trigonométrica \(2 \cos(t) \sin(t) = \sin(2t)\):<br /> \[<br /> \int_{0}^{\pi} \cos(t) \sin(t) \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin(2t) \, dt<br /> \]<br /> \[<br /> = \1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos(2t) \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{4} \left( \cos(0) - \cos(2\pi) \right) = \frac{1}{4} (1 - 1) = 0<br /> \]<br /><br />6. **Somar os resultados:**<br /> \[<br /> \int_{0}^{\pi} (1 + \cos(t) \sin(t)) \, dt = \pi + 0 = \pi<br /> \]<br /><br />Portanto, a integral de linha \(\int_{C}(1+xy) \cdot ds\) é igual a \(\pi\).