Pergunta

QUESTÃO 3 (3 PONTOS): Encontre os valores de x que satisfaz a desigualdade: 3lt (vert 3x+5vert )/(vert 2x+1vert )leqslant 8
Solução

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KarineProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para resolver a desigualdade \(3 < \frac{|3x+5|}{|2x+1|} \leqslant 8\), precisamos analisar as condições em que essa expressão é válida. Vamos dividir o problema em duas partes: <br /><br />1. \(3 < \frac{|3x+5|}{|2x+1|}\)<br />2. \(\frac{|3x+5|}{|2x+1|} \leqslant 8\)<br /><br />### Parte 1: \(3 < \frac{|3x+5|}{|2x+1|}\)<br /><br />Isso implica que:<br /><br />\[ |3x+5| > 3|2x+1| \]<br /><br />Vamos considerar os casos para \(3x+5\) e \(2x+1\):<br /><br />#### Caso 1: \(3x+5 \geq 0\) e \(2x+1 \geq 0\)<br /><br />Aqui, temos:<br /><br />\[ 3x + 5 > 3(2x + 1) \]<br />\[ 3x + 5 > 6x + 3 \]<br />\[ 5 - 3 > 6x - 3x \]<br />\[ 2 > 3x \]<br />\[ x < \frac{2}{3} \]<br /><br />#### Caso 2: \(3x+5 \geq 0\) e \(2x+1 < 0\)<br /><br />Aqui, temos:<br /><br />\[ 3x + 5 > -3(2x + 1) \]<br />\[ 3x + 5 > -6x - 3 \]<br />\[ 3x + 6x > -3 - 5 \]<br />\[ 9x > -8 \]<br />\[ x > -\frac{8}{9} \]<br /><br />#### Caso 3: \(3x+5 < 0\) e \(2x+1 \geq 0\)<br /><br />Aqui, temos:<br /><br />\[ -(3x + 5) > 3(2x + 1) \]<br />\[ -3x - 5 > 6x + 3 \]<br />\[ -5 - 3 > 6x + 3x \]<br />\[ -8 > 9x \]<br />\[ x < -\frac{8}{9} \]<br /><br />#### Caso 4: \(3x+5 < 0\) e \(2x+1 < 0\)<br /><br />Aqui, temos:<br /><br />\[ -(3x + 5) > -3(2x + 1) \]<br />\[ -3x - 5 > -6x - 3 \]<br />\[ -5 + 3 > -6x + 3x \]<br />\[ -2 > -3x \]<br />\[ x > \frac{2}{3} \]<br /><br />### Parte 2: \(\frac{|3x+5|}{|2x+1|} \leqslant 8\)<br /><br />Isso implica que:<br /><br />\[ |3x+5| \leq 8|2x+1| \]<br /><br />Vamos considerar os mesmos casos:<br /><br />#### Caso 1: \(3x+5 \geq 0\) e \(2x+1 \geq 0\)<br /><br />Aqui, temos:<br /><br />\[ 3x + 5 \leq 8(2x + 1) \]<br />\[ 3x + 5 \leq 16x + 8 \]<br />\[ 5 - 8 \leq 16x - 3x \]<br />\[ -3 \leq 13x \]<br />\[ x \geq -\frac{3}{13} \]<br /><br />#### Caso 2: \(3x+5 \geq 0\) e \(2x+1 < 0\)<br /><br />Aqui, temos:<br /><br />\[ 3x + 5 \leq -8(2x + 1) \]<br />\[ 3x + 5 \leq -16x - 8 \]<br />\[ 3x + 16x \leq -8 - 5 \]<br />\[ 19x \leq -13 \]<br />\[ x \leq -\frac{13}{19} \]<br /><br />#### Caso 3: \(3x+5 < 0\) e \(2x+1 \geq 0\)<br /><br />Aqui, temos:<br /><br />\[ -(3x + 5) \leq 8(2x + 1) \]<br />\[ -3x - 5 \leq 16x + 8 \]<br />\[ -5 - 8 \leq 16x + 3x \]<br />\[ -13 \leq 19x \]<br />\[ x \geq -\frac{13}{19} \]<br /><br />#### Caso 4: \(3x+5 < 0\) e \(2x+1 < 0\)<br /><br />Aqui, temos:<br /><br />\[ -(3x + 5) \leq -8(2x + 1) \]<br />\[ -3x - 5 \leq -16x - 8 \]<br />\[ -3x + 16x \leq -8 + 5 \]<br />\[ 13x \leq -3 \]<br />\[ x \leq -\frac{3}{13} \]<br /><br />### Solução Final<br /><br />Combinando todas as condições obtidas nos casos acima, temos:<br /><br />- Para \(x < -\frac{8}{9}\), não há solução.<br />- Para \(-\frac{8}{9} < x < -\frac{13}{19}\), a condição é satisfeita.<br />- Para \(-\frac{13}{19} \leq x \leq -\frac{3}{13}\), a condição é satisfeita.<br />- Para \(x > \frac{2}{3}\), não há solução.<br /><br />Portanto, a solução da desigualdade é:<br /><br />\[ -\frac{8}{9} < x < -\frac{13}{19} \quad \text{ou} \quad -\frac{13}{19} \leq x \leq -\frac{3}{13} \]
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