Soit g la fonction définie sur [-3;7] par g(x)=(ax+b)/(x-2) ou a etb sont des nombres 1. Déterminer les réels a et b pour que la courbe de g passe par les points A(3;6) et B(7;2) 1.5pt 2. On considère la fonction définie sur [-3;7] par f(x)=(x+3)/(x-2) a) Déterminer l'ensemble de définition de f. 1pt b) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 1pt c) Interpréter graphiquement les résultats obtenus 0,5pt d) Calculer la dérivée f' de f; puis en déduire le sens de variation de f. 1pt e) Dresser le tableau de variation de f. 1pt f) Ecrire une équation réduite de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1. Ipt 2pts g) Construire (T) et la courbe (C) dans le même repère

1. Pour déterminer les réels a et b pour que la courbe de g passe par les points A(3;6) et B(7), nous devons résoudre le système d'équations suivant :<br /><br />g(3) = 6 et g(7) = 2<br /><br />En substituant les valeurs de x dans la fonction g, nous obtenons :<br /><br />\frac{3a + b}{3 - 2} = 6 et \frac{7a + b}{7 - 2} = 2<br /><br />En simplifiant ces équations, nous obtenons :<br /><br />3a + b = 6 et 7a + b = 14<br /><br />En résolvant ce système d'équations, nous trouvons que a = 2 et b = 0.<br /><br />2. a) L'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels tels que x ≠ 2, c'est-à-dire [-3, 7] \ {2}.<br /><br />b) Pour calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition, nous devons évaluer la fonction f lorsque x approche -3 et 7.<br /><br />Lorsque x approche -3, f(x) approche \frac{-3 + 3}{-3 - 2} = 0.<br /><br />Lorsque x approche 7, f(x) approche \frac{7 + 3}{7 - 2} = 2.<br /><br />c) Graphiquement, nous pouvons représenter la fonction f en traçant les points correspondant aux valeurs de x et f(x) obtenues dans la partie b). Nous pouvons également représenter l'ensemble de définition de f en traçant une ligne horizontale à y = 2 et en excluant le point x = 2.<br /><br />d) Pour calculer la dérivée f', nous devons utiliser la règle de dérivation pour les fractions. La dérivée de f est f'(x) = \frac{1}{(x - 2)^2}.<br /><br />e) Pour dresser le tableau de variation de f, nous devons déterminer les intervalles où f est croissante ou décroissante. Puisque f' > 0 pour tout x ≠ 2, f est croissante sur [-3, 7].<br /><br />f) Pour écrire une équation réduite de la tangente (T) au point d'abscisse 1, nous devons utiliser la formule de la tangente : y - y1 = f'(x1)(x - x1), où (x1, y1) est le point donné. En substituant x1 = 1 et en utilisant la dérivée f', nous obtenons l'équation réduite de la tangente.<br /><br />g) Pour construire (T) et la courbe (C) dans le même repère, nous devons tracer la tangente (T) en utilisant l'équation réduite obtenue dans la partie f), puis tracer la courbe (C) en utilisant la fonction f.