QUESTAO 3 (5 PONTOS): Considere a função f:Rarrow R dada por f(x)=4x^1/3+x^4/3 (a) Determine os pontos criticos de f. (b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f. (c) Determine os pontos máximos e/ou mínimo locais de f e seus valores. (d) Analise a concavidade do gráfico de f. (e) Esboce o gráfico de f.

(a) Para determinar os pontos críticos de f, precisamos encontrar os valores de x para os quais a derivada de f é igual a zero ou não existe. A derivada de f é dada por:<br /><br />$f'(x) = \frac{4}{3}x^{-2/3} + \frac{4}{3}x^{1/3}$<br /><br />Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação:<br /><br />$\frac{4}{3}x^{-2/3} + \frac{4}{3}x^{1/3} = 0$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $3x^{2/3}$, obtemos:<br /><br />$4 + 4x = 0$<br /><br />$4x = -4$<br /><br />$x = -1$<br /><br />Portanto, o único ponto crítico de f é $x = -1$.<br /><br />(b) Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f, podemos analisar o sinal da derivada $f'(x)$.<br /><br />Se $f'(x) > 0$, então f está crescendo no intervalo considerado.<br />Se $f'(x) < 0$, então f está decrescendo no intervalo considerado.<br /><br />Para $x < -1$, temos $f'(x) < 0$, então f está decrescendo.<br />Para $x > -1$, temos $f'(x) > 0$, então f está crescendo.<br /><br />Portanto, f está decrescendo no intervalo $(-\infty, -1)$ e crescendo no intervalo $(-1, +\infty)$.<br /><br />(c) Para determinar os pontos máximos e/ou mínimos locais de f, podemos analisar o sinal da segunda derivada $f''(x)$.<br /><br />Se $f''(x) > 0$, então f tem um mínimo local no ponto considerado.<br />Se $f''(x) < 0$, então f tem um máximo local no ponto considerado.<br /><br />A segunda derivada de f é dada por:<br /><br />$f''(x) = -\frac{8}{9}x^{-5/3} + \frac{4}{9}x^{-2/3}$<br /><br />Para $x < 0$, temos $f''(x) < 0$, então f tem um máximo local em $x = -1$.<br /><br />Portanto, o ponto máximo local de f é $x = -1$ e o valor de f nesse ponto é $f(-1) = 4(-1)^{1/3} + (-1)^{4/3} = 4(-1) + 1 = -3$.<br /><br />(d) Para analisar a concavidade do gráfico de f, podemos analisar o sinal da segunda derivada $f''(x)$.<br /><br />Se $f''(x) > 0$, então o gráfico de f é côncavo para cima no intervalo considerado.<br />Se $f''(x) < 0$, então o gráfico de f é côncavo para baixo no intervalo considerado.<br /><br />Para $x < 0$, temos $f''(x) < 0$, então o gráfico de f é côncavo para baixo.<br /><br />Portanto, o gráfico de f é côncavo para baixo para $x < 0$.<br /><br />(e) Para esboçar o gráfico de f, podemos usar as informações obtidas nas partes anteriores.<br /><br />Sabemos que f está decrescendo no intervalo $(-\infty, -1)$ e crescendo no intervalo $(-1, +\infty)$. Também sabemos que f tem um máximo local em $x = -1$ com valor $f(-1) = -3Portanto, podemos esboçar o gráfico de f como uma curva que desce até $x = -1$ e depois começa a subir, semelhante a uma parábola invertida.