3) Usando o cálculo vetorial, calcule os comprimentos das seguintes curvas: a) rho =3,pi /4lt phi lt pi /2,z=cte 4) Usando o cálculo vetorial, calcule as áreas das seguintes superficies: a) rho =2,pi /3lt phi lt pi /2,0lt zlt 5 5) Usando o cálculo vetorial, calcule os volumes das seguintes regiōes: a) 0lt xlt 1,1lt ylt 2,-3lt zlt 3

3) Para calcular o comprimento da curva dada pela equação \(\rho = 3\), \(\pi/4 < \phi < \pi/2\), \(z = \text{constante}\), podemos usar a fórmula do comprimento em coordenadas cilíndricas:<br /><br />\[ L = \int_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{\left(\frac{dz}{d\phi}\right)^2 + \rho^2 \sin^2(\phi)} \, d\phi \]<br /><br />Substituindo os limites de integração e a equação da curva, temos:<br /><br />\[ L = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sqrt{0 + 3^2 \sin^2(\phi)} \, d\phi \]<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />\[ L = \int_{\pi/4}^{\pi/2} 3 \sin(\phi) \, d\phi \]<br /><br />Integrando, encontramos:<br /><br />\[ L = 3 \left[-\cos(\phi)\right]_{\pi/4}^{\pi/2} \]<br /><br />Substituindo os limites de integração, temos:<br /><br />\[ L = 3 \left[-\cos(\pi/2) + \cos(\pi/4)\right] \]<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />\[ L = 3 \left[0 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \]<br /><br />Portanto, o comprimento da curva é \( L = \frac{3\sqrt{2}}{2} \).<br /><br />4) Para calcular a área da superfície dada pela equação \(\rho = 2\), \(\pi/3 < \phi < \pi/2\), \(0 < z < 5\), podemos usar a fórmula da área em coordenadas cilíndricas:<br /><br />\[ A = \int_{\phi_1}^{\phi_2} \int_{z_1}^{z_2} \rho \sin(\phi) \, dz \, d\phi \]<br /><br />Substituindo os limites de integração e a equação da superfície, temos:<br /><br />\[ A = \int_{\pi/3}^{\pi/2} \int_{0}^{5} 2 \sin(\phi) \, dz \, d\phi \]<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />\[ A = 2 \int_{\pi/3}^{\pi/2} \sin(\phi) \, d\phi \int_{0}^{5} dz \]<br /><br />Integrando, encontramos:<br /><br />\[ A = 2 \left[-\cos(\phi)\right]_{\pi/3}^{\pi/2} \cdot 5 \]<br /><br />Substituindo os limites de integração, temos:<br /><br />\[ A = 2 \left[-\cos(\pi/2) + \cos(\pi/3)\right] \cdot 5 \]<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />\[ A = 2 \left[0 + \frac{1}{2}\right] \cdot 5 \]<br /><br />Portanto, a área da superfície é \( A = 5 \).<br /><br />5) Para calcular o volume da região dada pelas inequações \(0 < x < 1\), \(1 < y < 2\), \(-3 < z < 3\), podemos usar a fórmula do volume em coordenadas cartesianas:<br /><br />\[ V = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} \int_{z_1}^{z_2} dz \, dy \, dx \]<br /><br />Substituindo os limites de integração, temos:<br /><br />\[ V = \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \int_{-3}^{3} dz \, dy \, dx \]<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />\[ V = \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} 6 \, dy \, dx \]<br /><br />Integrando, encontramos:<br /><br />\[ V = 6 \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} dy \, dx \]<br /><br />Integrando novamente, temos:<br /><br />\[ V = 6 \int_{0}^{1} dx \]<br /><br />Finalmente, integrando a última integral, encontramos:<br /><br />\[ V = 6 \cdot 1 = 6 \]<br /><br />Portanto, o volume da reg