Questão 4. (2 pontos) Calcule o limite lim _(xarrow 0)(x^2+1)e^cos(1/x)

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} (x^2 + 1)e^{\cos(1/x)}\), vamos analisar cada parte do problema.<br /><br />Primeiro, observe que \(x^2 + 1\) é uma função contínua e \(e^{\cos(1/x)}\) também é contínua em \(x = 0\). Portanto, podemos usar a propriedade dos limites de produtos de funções contínuas:<br /><br />\[<br />\lim_{x \to 0} (x^2 + 1)e^{\cos(1/x)} = \left(\lim_{x \to 0} (x^2 + 1)\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} e^{\cos(1/x)}\right)<br />\]<br /><br />Vamos calcular cada limite separadamente:<br /><br />1. \(\lim_{x \to 0} (x^2 + 1)\):<br /><br />\[<br />\lim_{x \to 0} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1<br />\]<br /><br />2. \(\lim_{x \to 0} e^{\cos(1/x)}\):<br /><br />Para isso, precisamos analisar o comportamento de \(\cos(1/x)\) quando \(x \to 0\). Sabemos que \(\cos(1/x)\) oscila entre -1 e 1 conforme \(x\) varia. No entanto, quando \(x \to 0\), \(1/x \to \infty\), e \(\cos(1/x)\) não converge a um valor específico, mas sim oscila indefinidamente.<br /><br />Portanto, \(\cos(1/x)\) não tem um limite definido quando \(x \to 0\). Assim, \(e^{\cos(1/x)}\) também não tem um limite definido, pois a função exponencial \(e^u\) é contínua e tende a \(e^{\text{lim}_{x \to 0} \cos(1/x)}\), que não existe.<br /><br />Dado que \(\lim_{x \to 0} e^{\cos(1/x)}\) não existe, o produto \(\left(\lim_{x \to 0} (x^2 + 1)\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} e^{\cos(1/x)}\right)\) também não existe.<br /><br />Portanto, o limite \(\lim_{x \to 0} (x^2 + 1)e^{\cos(1/x)}\) não existe.