18. Determinar a dimensão e uma base para o seguinte subespaço de NI(2,2) S= [) a&b c&d

Para determinar a dimensão e uma base para o subespaço \( S \) de \( M(2,2) \) dado por \( S = \{ [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} ] \in M(2,2) : b = a + c \quad \text{e} \quad d = c \} \), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Expressar as condições dadas:**<br /> - \( b = a + c \)<br /> - \( d = c \)<br /><br />2. **Escrever uma matriz geral em termos de \( a \) e \( c \):**<br /> - Se \( b = a + c \) e \( d = c \), então podemos escrever:<br /> \[<br /> [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} ] = [\begin{matrix} a & a+c \\ c & c \end{matrix} ]<br /> \]<br /><br />3. **Identificar as variáveis independentes:**<br /> - As variáveis independentes são \( a \) e \( c \).<br /><br />4. **Determinar a dimensão do subespaço:**<br /> - A dimensão de \( S \) é o número de variáveis independentes, que é 2.<br /><br />5. **Encontrar uma base para \( S \):**<br /> - Podemos escolher \( a \) e \( c \) como as variáveis independentes e formar as matrizes correspondentes:<br /> \[<br /> \mathbf{v_1} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]<br /> \]<br /> \[<br /> \mathbf{v_2} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ]<br /> \]<br /><br />Portanto, a dimensão do subespaço \( S \) é 2 e uma base para \( S \) é:<br />\[<br />\left\{ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ], [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] \right\}<br />\]