2) Verifique a aproximação linear sqrt (y+cos^2x)cong 1+(y)/(2)em(0,0)

Para verificar a aproximação linear $\sqrt {y+\cos^{2}x}\cong 1+\frac {y}{2}$ em $(0,0)$, podemos usar o conceito de aproximação linear.<br /><br />A aproximação linear de uma função em um ponto é dada por uma reta tangente à curva da função nesse ponto. Neste caso, queremos verificar se a reta $y = 1 + \frac{y}{2}$ é uma boa aproximação para a curva $\sqrt{y + \cos^2 x}$ em $(0,0)$.<br /><br />Para fazer isso, podemos calcular a derivada da função $\sqrt{y + \cos^2 x}$ em relação a $x$ e verificar se ela é aproximadamente igual à inclinação da reta $y = 1 + \frac{y}{2}$ em $(0,0)$.<br /><br />A derivada de $\sqrt{y + \cos^2 x}$ em relação a $x$ é dada por:<br /><br />$\frac{d}{dx} \sqrt{y + \cos^2 x} = \frac{1}{2\sqrt{y + \cos^2 x}} \cdot \frac{d}{dx} (y + \cos^2 x)$<br /><br />Como $y$ é uma função de $x$, podemos usar a regra da cadeia para calcular a derivada de $y + \cos^2 x$ em relação a $x$:<br /><br />$\frac{d}{dx} (y + \cos^2 x) = \frac{dy}{dx} + 2\cos x \cdot (-\sin x)$<br /><br />Agora, podemos substituir essa expressão na fórmula da derivada:<br /><br />$\frac{d}{dx} \sqrt{y + \cos^2 x} = \frac{1}{2\sqrt{y + \cos^2 x}} \cdot \left( \frac{dy}{dx} - 2\cos x \cdot \sin x \right)$<br /><br />Em $(0,0)$, temos $y = 0$ e $\cos x = 1$, então:<br /><br />$\frac{d}{dx} \sqrt{0 + 1^2} = \frac{1}{2\sqrt{0 + 1}} \cdot \left( \frac{dy}{dx} - 2 \cdot 1 \cdot \sin x \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{dy}{dx} - 2\sin x \right)$<br /><br />A inclinação da reta $y = 1 + \frac{y}{2}$ em $(0,0)$ é simplesmente $\frac{1}{2}$, pois a reta é horizontal.<br /><br />Portanto, podemos ver que a derivada da função $\sqrt{y + \cos^2 x}$ em $(0,0)$ não é aproximadamente igual à inclinação da reta $y = 1 + \frac{y}{2}$ em $(0,0)$. Portanto, a aproximação linear $\sqrt{y + \cos^2 x} \cong 1 + \frac{y}{2}$ em $(0,0)$ não é válida.