Quais es restos de: [ 333^777+777^333 ( per ) 5 ]

Para encontrar o resto da expressão \(333^{777} + 777^{333}\) quando dividida por 5, podemos usar a propriedade de Euler para encontrar o resto de cada termo separadamente.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar o resto de \(333^{777}\) quando dividido por 5. Podemos escrever 333 como \(5k + 3\), onde \(k\) é um inteiro. Então, temos:<br /><br />\[<br />333^{777} \equiv (5k + 3)^{777} \equiv 3^{777} \pmod{5}<br />\]<br /><br />Agora, vamos encontrar o resto de \(3^{777}\) quando dividido por 5. Podemos usar a propriedade de Euler, que afirma que \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\), onde \(\phi(n)\) é o totiente de Euler de \(n\). Neste caso, \(\phi(5) = 4\), então temos:<br /><br />\[<br />3^{777} \equiv 3^{4 \cdot 194} \equiv (3^4)^{194} \equiv 1^{194} \equiv 1 \pmod{5}<br />\]<br /><br />Agora, vamos encontrar o resto de \(777^{333}\) quando dividido por 5. Podemos escrever 777 como \(5k + 2\), onde \(k\) é um inteiro. Então, temos:<br /><br />\[<br />777^{333} \equiv (5k + 2)^{333} \equiv 2^{333} \pmod{5}<br />\]<br /><br />Agora, vamos encontrar o resto de \(2^{333}\) quando dividido por 5. Podemos usar a propriedade de Euler novamente, que afirma que \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\). Neste caso, \(\phi(5) = 4\), então temos:<br /><br />\[<br />2^{333} \equiv 2^{4 \cdot 83} \equiv (2^4)^{83} \equiv 1^{83} \equiv 1 \pmod{5}<br />\]<br /><br />Portanto, o resto de \(333^{777} + 777^{333}\) quando dividido por 5 é \(1 + 1 = 2\).