Resdve a inregeal por substituiçāo int x^3 sqrt(x^4)+1 d x

Para resolver a integral \( \int x^{3} \sqrt{x^{4}+1} d x \) por substituição, podemos fazer a substituição \( u = x^{4} + 1 \). Então, \( du = 4x^{3} dx \) e \( x^{3} dx = \frac{1}{4} du \).<br /><br />Substituindo na integral, temos:<br /><br />\( \int x^{3} \sqrt{x^{4}+1} d x = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{4} du \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( \frac{1}{4} \int \sqrt{u} du \)<br /><br />Agora, podemos resolver essa integral usando a potência de 0,5:<br /><br />\( \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C \)<br /><br />Substituindo de volta \( u = x^{4} + 1 \), temos:<br /><br />\( \frac{1}{6} (x^{4} + 1)^{3/2} + C \)<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />\( \frac{1}{6} (x^{4} + 1)^{3/2} + C \)