4) Resolva a seguinte equação diferencial: y'=epsilon y-sigma y^3;epsilon gt 0esigma gt 0 (estabilidade hidrodinâmica).

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método de fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação diferencial na forma padrão:<br /><br />$y' - \epsilon y + \sigma y^3 = 0$<br /><br />Agora, procuramos um fator integrante que seja uma função de y. Supondo que tal fator exista, ele deve satisfazer a seguinte equação:<br /><br />$\mu(y) = A(y)$<br /><br />onde A(y) é uma função desconhecida que precisamos encontrar. Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por $\mu(y)$, obtemos:<br /><br />$\mu(y)y' - \epsilon \mu(y)y + \sigma \mu(y)y^3 = 0$<br /><br />Agora, aplicamos a regra de derivada do produto para a primeira termo do lado esquerdo:<br /><br />$\mu(y)y' + \mu'(y)y = -\epsilon \mu(y)y + \sigma \mu(y)y^3$<br /><br />Reorganizando os termos, temos:<br /><br />$\mu'(y)y = -\epsilon \mu(y)y + \sigma \mu(y)y^3$<br /><br />Agora, podemos dividir ambos os lados por $\mu(y)y$ para eliminar o fator $\mu(y)$:<br /><br />$\mu'(y) = -\epsilon + \sigma y^2$<br /><br />Para encontrar A(y), integramos ambos os lados em relação a y:<br /><br />$\int \mu'(y) dy = \int (-\epsilon + \sigma y^2) dy$<br /><br />$\mu(y) = -\epsilon y + \frac{\sigma}{3}y^3 + C$<br /><br />onde C é uma constante de integração. Como estamos procurando um fator integrante, podemos escolher C de tal forma que $\mu(y) = 1$. Portanto, temos:<br /><br />$1 = -\epsilon y + \frac{\sigma}{3}y^3 + C$<br /><br />Resolvendo para C, obtemos:<br /><br />$C = 1 + \epsilon y - \frac{\sigma}{3}y^3$<br /><br />Portanto, o fator integrante é:<br /><br />$\mu(y) = e^{\int P(y) dy}$<br /><br />onde P(y) é a função que aparece na equação diferencial. Neste caso, temos:<br /><br />$P(y) = -\epsilon + \sigma y^2$<br /><br />Integrando P(y) em relação a y, obtemos:<br /><br />$\int P(y) dy = -\epsilon y + \frac{\sigma}{3}y^3 + C$<br /><br />Portanto, o fator integrante é:<br /><br />$\mu(y) = e^{-\epsilon y + \frac{\sigma}{3}y^3 + C}$<br /><br />Substituindo C por 1 + $\epsilon y - \frac{\sigma}{3}y^3$, temos:<br /><br />$\mu(y) = e^{1 + \epsilon y - \frac{\sigma}{3}y^3}$<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial é:<br /><br />$y(t) = \frac{1}{\sqrt[3]{\sigma}} e^{\frac{\sigma}{3}(y^2 - 1)}$<br /><br />onde y(0) é uma constante arbitrária.