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Matemática
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Se f(x)= ) 2x-p,&se&xleqslant 1 mx-1,&se&1lt xlt 6 (7x+4)/(2),&se&xgeqslant 6 mx-1, se 1<x<6 é uma função contínua, de domínio real, então, m-p é igual a (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Pergunta

Se f(x)= ) 2x-p,&se&xleqslant 1 mx-1,&se&1lt xlt 6 (7x+4)/(2),&se&xgeqslant 6  mx-1, se 1<x<6 é uma função contínua,
de domínio real, então, m-p é igual a
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7

Se f(x)= ) 2x-p,&se&xleqslant 1 mx-1,&se&1lt xlt 6 (7x+4)/(2),&se&xgeqslant 6 mx-1, se 1<x<6 é uma função contínua, de domínio real, então, m-p é igual a (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Solução

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LeandroElite · Tutor por 8 anos

Responder

Para que a função \( f(x) \) seja contínua, os limites dos diferentes segmentos da função devem ser iguais em \( x = 1 \) e \( x = 6 \).<br /><br />Vamos calcular os limites em \( x = 1 \) e \( x = 6 \):<br /><br />1. **Limite em \( x = 1 \)**:<br /> - Para \( x \leq 1 \), temos \( f(x) = 2x - p \).<br /> - Para \( 1 < x < 6 \), temos \( f(x) = mx - 1 \).<br /><br /> O limite de \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 1 pela esquerda é:<br /> \[<br /> \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1) - p = 2 - p<br /> \]<br /><br /> O limite de \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 1 pela direita é:<br /> \[<br /> \lim_{x \to 1^+} f(x) = m(1) - 1 = m - 1<br /> \]<br /><br /> Para que a função seja contínua em \( x = 1 \), esses dois limites devem ser iguais:<br /> \[<br /> 2 - p = m - 1<br /> \]<br /><br />2. **Limite em \( x = 6 \)**:<br /> - Para \( 1 < x < 6 \), temos \( f(x) = mx - 1 \).<br /> - Para \( x \geq 6 \), temos \( f(x) = \frac{7x + 4}{2} \).<br /><br /> O limite de \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 6 pela esquerda é:<br /> \[<br /> \lim_{x \to 6^-} f(x) = m(6) - 1 = 6m - 1<br /> \]<br /><br /> O limite de \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 6 pela direita é:<br /> \[<br /> \lim_{x \to 6^+} f(x) = \frac{7(6) + 4}{2} = \frac{42 + 4}{2} = \frac{46}{2} = 23<br /> \]<br /><br /> Para que a função seja contínua em \( x = 6 \), esses dois limites devem ser iguais:<br /> \[<br /> 6m - 1 = 23<br /> \]<br /><br /> Resolvendo para \( m \):<br /> \[<br /> 6m - 1 = 23 \implies 6m = 24 \implies m = 4<br /> \]<br /><br />Agora, substituímos \( m = 4 \) na equação \( 2 - p = m - 1 \):<br />\[<br />2 - p = 4 - 1 \implies 2 - p = 3 \implies p = -1<br />\]<br /><br />Portanto, \( m - p = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \).<br /><br />A resposta correta é:<br />(C) 5
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