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Matemática
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int _(-a)^a(dy)/((x^2)+y^(2)^3/2)= __

Pergunta

int _(-a)^a(dy)/((x^2)+y^(2)^3/2)=
__

int _(-a)^a(dy)/((x^2)+y^(2)^3/2)= __

Solução

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RenanMestre · Tutor por 5 anos

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Para resolver a integral dada, podemos usar uma substituição adequada. Vamos fazer a substituição \( y = x \tan(\theta) \), então \( dy = x \sec^2(\theta) d\theta \). As novas limites de integração são \( \theta = -\frac{\pi}{4} \) e \( \theta = \frac{\pi}{4} \).<br /><br />Substituindo na integral, temos:<br /><br />\[<br />\int_{-a}^{a} \frac{dy}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{x \sec^2(\theta) d\theta}{(x^2 + x^2 \tan^2(\theta))^{3/2}}<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />= \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{x \sec^2(\theta) d\theta}{x^3 \sec^3(\theta)} = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{d\theta}{x^2} = \frac{1}{x^2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} d\theta = \frac{1}{x^2} \left[ \theta \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{1}{x^2} \left( \frac{\pi}{4} - \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2x^2}<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é \( \frac{\pi}{2x^2} \).
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