2' Questão Uma transformação linear T : R^2arrow Omega ^3 é dada pel matriz de transformação T = T=[} -1&1 -1&3 1&5 ] cntão, 0 conjunto imagem dessa transformacão pode ser representado por (a) Im(T)=[(1,1,-1),(0,1,3)] (b) Im(T)=[(-1,-1,1),(1,3,5)] (c) Im(T)=[(1,0),(0,1)] (d) Im(T)=[(1,1,- 1),(0,3,5)] (e) Im(T)=[(-1,-1,1),(0,4,4)]

resposta correta é a opção (b) $Im(T)=[(-1,-1,1),(1,3,5)]$.<br /><br />Para encontrar o conjunto imagem de uma transformação linear, precisamos determinar todos os vetores possíveis que podem ser obtidos aplicando a transformação a vetores do domínio. Neste caso, o domínio é $R^{2}$, o que significa que estamos trabalhando com vetores de duas dimensões.<br /><br />A matriz de transformação T é dada por $T=[\begin{matrix} -1&1\\ -1&3\\ 1&5\end{matrix} ]$. Podemos usar essa matriz para calcular a imagem de qualquer vetor de $R^{2}$ aplicando a transformação a esse vetor.<br /><br />Para encontrar o conjunto imagem, podemos escolher uma base para o domínio $R^{2}$. Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço. Neste caso, podemos escolher a base padrão $\{(1,0),(0,1)\}$.<br /><br />Aplicando a transformação T a cada vetor da base, obtemos:<br /><br />$T(1,0) = (-1, -1, 1)$<br />$T(0,1) = (1, 3, 5)$<br /><br />Portanto, o conjunto imagem de T é dado por $Im(T)=[(-1,-1,1),(1,3,5)]$, que corresponde à opção (b).