A série sum _(n=1)^infty ncdot sen(1)/(n) e convergente. Escolha uma opção:

Para determinar se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right)\) é convergente, podemos usar o teste de comparação.<br /><br />Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: \(a_n = n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right)\).<br /><br />Quando \(n\) tende ao infinito, \(\sin\left(\frac{1}{n}\right)\) tende a 0. Portanto, podemos usar a regra de l'Hôpital para avaliar o limite de \(a_n\):<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right) \cdot \left(-\frac{1}{n^2}\right)}{-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{1}{n}\right) = \cos(0) = 1.<br />\]<br /><br />Portanto, o termo geral \(a_n\) tende a 1 quando \(n\) tende ao infinito.<br /><br />Agora, vamos comparar a série \(\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right)\) com uma série conhecida que temos certeza de que é convergente. Sabemos que a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) é divergente (série harmônica).<br /><br />No entanto, podemos encontrar uma série que é comparável a \(\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right)\) e que é convergente. Vamos considerar a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\), que é conhecida como série de Riemann e é convergente.<br /><br />Agora, vamos comparar os termos \(a_n = n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right)\) com \(b_n = \frac{1}{n^2}\). Precisamos mostrar que \(a_n \leq b_n\) para todos os \(n\) suficientemente grandes.<br /><br />Quando \(n\) é suficientemente grande, \(\sin\left(\frac{1}{n}\right) \leq \frac{1}{n}\). Portanto, \(a_n = n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right) \leq n \cdot \frac{1}{n} = 1\).<br /><br />Agora, podemos usar o teste de comparação:<br /><br />Se \(0 \leq a_n \leq b_n\) para todos os \(n\) suficientemente grandes e \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) é convergente, então \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) também é convergente.<br /><br />Neste caso, \(0 \leq n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right) \leq \frac{1}{n^2}\) para todos os \(n\) suficientemente grandes e \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) é convergente. Portanto, \(\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right)\) também é convergente.<br /><br />Portanto, a resposta correta é: A série \(\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right)\) é convergente.