((5^2 cdot 5^5 cdot 125^4)^3)/((25^2) cdot 5^(2 cdot 5)^2)

Para resolver essa expressão, vamos simplificar os termos e aplicar as propriedades das potências.<br /><br />Primeiro, vamos simplificar o numerador:<br /><br />\(5^{2} \cdot 5^{5} \cdot 125^{4}\)<br /><br />Podemos reescrever \(125\) como \(5^3\), então temos:<br /><br />\(5^{2} \cdot 5^{5} \cdot (5^3)^{4}\)<br /><br />Aplicando a propriedade das potências, temos:<br /><br />\(5^{2} \cdot 5^{5} \cdot 5^{12}\)<br /><br />Agora, podemos somar os expoentes:<br /><br />\(5^{2+5+12} = 5^{19}\)<br /><br />Agora, vamos simplificar o denominador:<br /><br />\(25^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5\)<br /><br />Podemos reescrever \(25\) como \(5^2\), então temos:<br /><br />\((5^2)^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5\)<br /><br />Aplicando a propriedade das potências, temos:<br /><br />\(5^{4} \cdot 5^{2} \cdot 5\)<br /><br />Agora, podemos somar os expoentes:<br /><br />\(5^{4+2+1} = 5^{7}\)<br /><br />Agora, podemos simplificar a expressão original:<br /><br />\(\frac{(5^{19})^{3}}{(5^{7})^{2}}\)<br /><br />Aplicando a propriedade das potências, temos:<br /><br />\(\frac{5^{57}}{5^{14}}\)<br /><br />Agora, podemos subtrair os expoentes:<br /><br />\(5^{57-14} = 5^{43}\)<br /><br />Portanto, a resposta correta é \(5^{43}\).