Verifique, nos exercício de 1 a 3, se as transformações são lineares: 1-T:R^2arrow R^3,T(x,y)=(x-y,2x+y,0) 2-T:R^2arrow R^2,T(x,y)=(x+2,y+3) 3-T:R^2arrow R,T(x,y)=vert xvert

Para verificar se uma transformação é linear, devemos verificar se ela satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar.<br /><br />1. Para a transformação $T:R^{2}\rightarrow R^{3}$, temos $T(x,y)=(x-y,2x+y,0)$. Vamos verificar as propriedades:<br /><br />- Adição: Para qualquer $x,y\in R^{2}$, temos $T(x+y,0)=T(x,0)+T(y,0)$. Portanto, a propriedade de adição está satisfeita.<br /><br />- Multiplicação por escalar: Para qualquer $x,y\in R^{2}$ e escalar $\lambda$, temos $T(\lambda x,y)=T(\lambda x,0)+T(0,y)$. Portanto, a propriedade de multiplicação por escalar está satisfeita.<br /><br />Concluímos que a transformação $T$ é linear.<br /><br />2. Para a transformação $T:R^{2}\rightarrow R^{2}$, temos $T(x,y)=(x+2,y+3)$. Vamos verificar as propriedades:<br /><br />- Adição: Para qualquer $x,y\in R^{2}$, temos $T(x+y,0)=T(x,0)+T(y,0)$. Portanto, a propriedade de adição está satisfeita.<br /><br />- Multiplicação por escalar: Para qualquer $x,y\in R^{2}$ e escalar $\lambda$, temos $T(\lambda x,y)=T(\lambda x,0)+T(0,y)$. Portanto, a propriedade de multiplicação por escalar está satisfeita.<br /><br />Concluímos que a transformação $T$ é linear.<br /><br />3. Para a transformação $T:R^{2}\rightarrow R$, temos $T(x,y)=\vert x\vert$. Vamos verificar as propriedades:<br /><br />- Adição: Para qualquer $x,y\in R^{2}$, temos $T(x+y,0)=T(x,0)+T(y,0)$. Portanto, a propriedade de adição está satisfeita.<br /><br />- Multiplicação por escalar: Para qualquer $x,y\in R^{2}$ e escalar $\lambda$, temos $T(\lambda x,y)=T(\lambda x,0)+T(0,y)$. Portanto, a propriedade de multiplicação por escalar está satisfeita.<br /><br />No entanto, a transformação $T$ não é linear, pois não satisfaz a propriedade de adição para todos os vetores.