Pergunta
Considere a função f(x)=x^x Sabendo que a=e^ln(a) , determine a derivada da função f(x) a. f'(x)=x^x+x^xln(x) b. f'(x)=x^x+ln(x^x) f'(x)=ln(x^x) e
Solução
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Zuila MariaProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para determinar a derivada da função \( f(x) = x^x \), podemos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro, vamos reescrever a função \( f(x) \) como \( f(x) = e^{\ln(x^x)} \). Agora, podemos aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada:<br /><br />\[ f'(x) = e^{\ln(x^x)} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x^x)) \]<br /><br />Para encontrar a derivada de \( \ln(x^x) \), podemos usar a regra da cadeia novamente:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}(\ln(x^x)) = \frac{1}{x^x} \cdot \frac{d}{dx}(x^x) \]<br /><br />Para encontrar a derivada de \( x^x \), podemos usar a regra do produto:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}(x^x) = x^x \cdot \ln(x) + x^x \]<br /><br />Agora, podemos substituir essa derivada na expressão anterior:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}(\ln(x^x)) = \frac{1}{x^x} \cdot (x^x \cdot \ln(x) + x^x) \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}(\ln(x^x)) = \ln(x) + 1 \]<br /><br />Agora, podemos substituir essa derivada na expressão original para encontrar a derivada de \( f(x) \):<br /><br />\[ f'(x) = e^{\ln(x^x)} \cdot (\ln(x) + 1) \]<br /><br />Como \( e^{\ln(x^x)} = x^x \), temos:<br /><br />\[ f'(x) = x^x \cdot (\ln(x) + 1) \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção b: \( f'(x) = x^x + x^x \ln(x) \).
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