3. (6 pontos ) Em cada um dos itens abaixo encontre a solução geral da equação diferencial. (a) (1-2x^2-2y)(dy)/(dx)=4x^3+4xy (b) x^2y'+xy=1 (c) (y^2cosx-3x^2y-2x)dx+(2ysenx-x^3+lny)dy=0 (d) (1+x)y'-xy=x+x^2

(a) Para encontrar a solução geral da equação diferencial $(1-2x^{2}-2y)\frac {dy}{dx}=4x^{3}+4xy$, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, reescrevemos a equação na forma $\frac{dy}{dx} = \frac{4x^{3}+4xy}{1-2x^{2}-2y}$. Em seguida, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação para obter a solução geral.<br /><br />(b) A equação diferencial $x^{2}y'+xy=1$ é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos reescrevê-la na forma $y' + \frac{xy}{x^2} = \frac{1}{x^2}$. Agora, podemos encontrar o fator integrante $\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x|$. Multiplicando ambos os lados da equação por $\mu(x)$, obtemos $|x|y' + |x|\frac{xy}{x^2} = \frac{|x|}{x^2}$. Simplificando, temos $|x|y' + y = \frac{1}{x}$. Agora, podemos encontrar a solução geral da equação diferencial linear usando a fórmula geral $y(x) = \frac{1}{x} + Cx$, onde $C$ é uma constante arbitrária.<br /><br />(c) A equação diferencial $(y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x)dx + (2y\sin x - x^{3} + \ln y)dy = 0$ é uma equação diferencial não linear. Para encontrar a solução geral, podemos tentar encontrar uma função potencial $\phi(x, y)$ tal que $\frac{\partial \phi}{\partial x} = y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x$ e $\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2y\sin x - x^{3} + \ln y$. No entanto, essa equação não é fácil de resolver diretamente. Uma abordagem alternativa é usar métodos numéricos ou software de álgebra computacional para encontrar uma solução aproximada.<br /><br />(d) A equação diferencial $(1+x)y' - xy = x + x^{2}$ é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos reescrevê-la na forma $y' - \frac{xy}{1+x} = \frac{x+x^{2}}{1+x}$. Agora, podemos encontrar o fator integrante $\mu(x) = e^{\int -\frac{x}{1+x} dx} = e^{-\ln(1+x)} = \frac{1}{1+x}$. Multiplicando ambos os lados da equação por $\mu(x)$, obtemos $\frac{1}{1+x}y' - \frac{xy}{(1+x)^{2}} = \frac{1}{1+x}$. Simplificando, temos $\frac{1}{1+x}y' = \frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{xy}{(1+x)^{2}}$. Agora, podemos encontrar a solução geral da equação diferencial linear usando a fórmula geral $y(x) = \frac{1}{x} + C(1+x)$, onde $C$ é uma constante arbitrária.