2. (Insper-SP) Em uma noite, a razão entre o número de pessoas que estavam jantando em um restaurante e o número de garçons que as atendiam era de 30 para 1. Em seguida, chegaram mais 50 clientes, mais 5 garçons iniciaram o atendimento e a razão entre o número de clientes e o número de garçons ficou em 25 para 1. O número inicial de clientes no restaurante era a) 250 . d) 400 . b) 300 . e) 450 . c) 350 .

Vamos chamar o número inicial de clientes de "x" e o número inicial de garçons de "y".<br /><br />De acordo com as informações dadas, a razão entre o número de clientes e o número de garçons era de , o que pode ser representado pela equação:<br /><br />x/y = 30/1<br /><br />Em seguida, chegaram mais 50 clientes e 5 garçons iniciaram o atendimento, então o número de clientes se tornou x + 50 e o número de garçons se tornou y + 5. A razão entre o número de clientes e o número de garçons ficou em 25 para 1, o que pode ser representado pela equação:<br /><br />(x + 50)/(y + 5) = 25/1<br /><br />Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar o valor de x.<br /><br />Multiplicando a primeira equação por y, temos:<br /><br />xy = 30y<br /><br />Substituindo essa expressão na segunda equação, temos:<br /><br />(x50)/(y + 5) = 25/1<br /><br />(x + 50) = 25(y + 5)<br /><br />xy + 50y = 25y + 125<br /><br />xy - 25y = 125 - 50y<br /><br />y(x - 25) = 125 - 50y<br /><br />y = (125 - 50y) / (x - 25)<br /><br />Substituindo y na primeira equação:<br /><br />x = 30 * ((125 - 50y) / (x - 25))<br /><br />x = 30 * (125 - 50y) / (x - 25)<br /><br />Multiplicando ambos os lados por (x - 25):<br /><br />x(x - 25) = 30 * (125 - 50y)<br /><br />x^2 - 25x = 3750 - 1500y<br /><br />x^2 + 1500y = 3750<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de x.<br /><br />x = [25 ± sqrt(25^2 - 4 * 1500 * 3750)] / (2 * 1)<br /><br />x = [25 ± sqrt(625 - 5625000)] / 2<br /><br />x = [25 ± sqrt(-5624475)] / 2<br /><br />Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, não há solução real para essa equação.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a letra a) 250.